y=tanh⁡xy = \tanh x

Gráfica de la tangente hiperbólica y=tanh⁡xy = \tanh x

La función tangente hiperbólica y=tanh⁡xy = \tanh x se define como el cociente del seno hiperbólico entre el coseno hiperbólico1.

tanh⁡x=sinh⁡xcosh⁡x=ex−e−xex+e−x\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}

Es la contrapartida hiperbólica de la tangente ordinaria tan⁡x\tan x.

Dominio y rango

  • El dominio es el conjunto de todos los números reales
  • El rango es el intervalo abierto (−1,1)(-1, 1)
  • Crece de forma monótona
  • Es una función impar

El denominador cosh⁡x\cosh x vale siempre al menos 11 y no se anula nunca, así que la función está definida para todo número real. Donde tan⁡x\tan x tenía asíntotas y un rango que cubría toda la recta, tanh⁡x\tanh x es suave y acotada.

Simetría

Como tanh⁡(−x)=−tanh⁡x\tanh(-x) = -\tanh x, la función es impar y su gráfica es simétrica respecto del origen.

Monotonía

La derivada es la siguiente.

ddxtanh⁡x=sech⁡2x=1−tanh⁡2x\frac{d}{dx}\tanh x = \operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x

Es siempre positiva, así que la función es estrictamente creciente en toda la recta real. La pendiente es máxima en el origen, donde vale 11, y se aplana hacia ambos extremos, lo que produce una curva suave en forma de S.

La segunda derivada es −2tanh⁡x sech⁡2x-2\tanh x\,\operatorname{sech}^2 x, que cambia de signo solo en el origen. El único punto de inflexión es (0,0)(0, 0), que es además el centro de simetría.

Asíntotas y valores destacados

xxtanh⁡x\tanh x
→−∞\to -\infty→−1\to -1
0000
11≈0.7616\approx 0.7616
22≈0.9640\approx 0.9640
33≈0.9951\approx 0.9951
→+∞\to +\infty→1\to 1

Las rectas y=1y = 1 e y=−1y = -1 son asíntotas horizontales, y la curva no las cruza nunca. En x=3x = 3 el valor ya supera 0.9950.995, así que la saturación es muy rápida.

Relación con la sigmoide

Está ligada a la sigmoide logística σ(x)=11+e−x\sigma(x) = \dfrac{1}{1 + e^{-x}} por la identidad siguiente2.

tanh⁡x=2σ(2x)−1\tanh x = 2\sigma(2x) - 1

Comprimir la sigmoide horizontalmente en un factor 12\dfrac{1}{2}, duplicarla verticalmente y bajarla en 11 da tanh⁡\tanh. La única diferencia está en si el rango es (0,1)(0, 1) o (−1,1)(-1, 1); la forma es la misma.

Aplicaciones

  • Una función de activación en redes neuronales
  • Una función de saturación que confina los valores a un rango
  • Un modelo de la imanación o de la respuesta de una señal
  • La suma de velocidades en relatividad especial, a través de la rapidez
  1. Hyperbolic functions, Wikipedia
  2. Logistic function, Wikipedia