y = \operatorname{arsinh} x

Seno hiperbólico inverso $y = \operatorname{arsinh} x$

$\operatorname{arsinh} x$ , el seno hiperbólico inverso o argumento seno hiperbólico, es la inversa de $\sinh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$ ¹. Como $\sinh$ crece de forma monótona en toda la recta real, la inversa queda determinada de manera única sin necesidad de restricción alguna.

Definición y forma cerrada

$y = \operatorname{arsinh} x$ es el valor $y$ con $x = \sinh y$ . Resolver la ecuación de segundo grado que resulta en $e^y$ produce una forma cerrada escrita con un logaritmo.

\operatorname{arsinh} x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)

La cantidad $x^2 + 1$ que va bajo la raíz es siempre positiva, así que esta expresión tiene sentido para todo número real.

Dominio y rango

El dominio es el conjunto de todos los números reales
El rango es el conjunto de todos los números reales
Crece de forma monótona
Es una función impar

Como $\sinh$ aplica biyectivamente toda la recta real sobre toda la recta real, su inversa tiene el mismo alcance. De todas las funciones hiperbólicas inversas, esta es la única cuyo dominio no lleva restricción alguna.

Simetría y monotonía

Como $\operatorname{arsinh}(-x) = -\operatorname{arsinh} x$ , la función es impar y su gráfica es simétrica respecto del origen. La derivada es la siguiente.

\frac{d}{dx}\operatorname{arsinh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}

Es siempre positiva, así que la función crece de forma monótona en toda la recta. El denominador no se anula nunca, de modo que no hay ningún punto donde la tangente se vuelva vertical, como sí ocurre en $\operatorname{arcosh}$ .

Lo deprisa que crece

Zona	Aproximación	Comportamiento
cerca del origen	$\operatorname{arsinh} x \approx x$	tangente a la recta $y = x$
$x$ grande	$\operatorname{arsinh} x \approx \ln(2x)$	crece despacio, como un logaritmo

Para $x$ grande se tiene $\sqrt{x^2+1} \approx x$ , así que el crecimiento se asienta en el de un logaritmo. No hay asíntotas, ni verticales ni horizontales.

Valores destacados

$x$	$\operatorname{arsinh} x$
$0$	$0$
$1$	$\ln(1 + \sqrt{2}) \approx 0.8814$
$2$	$\ln(2 + \sqrt{5}) \approx 1.4436$
$10$	$\approx 2.9982$

Multiplicar $x$ por diez, de $1$ a $10$ , eleva el valor poco más del triple, que es la suavidad que cabe esperar de un logaritmo.

Aplicaciones

Su uso más básico es como resultado de una integral.

\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 1}} = \operatorname{arsinh} x + C

Calcular la longitud de arco de una catenaria
Los cálculos de relatividad especial y de geodésicas
La transformación por seno hiperbólico inverso para datos de rango amplio, sustituta del logaritmo que además admite valores negativos

Inverse hyperbolic functions, Wikipedia

Seno hiperbólico inverso y=arsinh⁡xy = \operatorname{arsinh} xy=arsinhx