y=e−xsin⁡xy = e^{-x}\sin x

Gráfica de la oscilación amortiguada y=e−xsin⁡xy = e^{-x}\sin x

y=e−xsin⁡xy = e^{-x}\sin x es la curva de una oscilación amortiguada, una función trigonométrica ponderada por una exponencial1. Es la forma más básica de un fenómeno que oscila mientras su amplitud mengua.

Dominio y ceros

El dominio es el conjunto de todos los números reales. Como e−xe^{-x} no se anula nunca, y=0y = 0 solo donde sin⁡x=0\sin x = 0, es decir, en x=nπx = n\pi. Ni con el amortiguamiento dejan los ceros de estar uniformemente espaciados; lo único que cambia es la amplitud, y ese es el rasgo característico.

La envolvente

De ∣sin⁡x∣≤1|\sin x| \leq 1 se sigue que la curva queda atrapada entre dos curvas exponenciales.

−e−x≤y≤e−x-e^{-x} \leq y \leq e^{-x}

Esas dos son la envolvente, y la curva las toca en x=π2+nπx = \dfrac{\pi}{2} + n\pi, donde ∣sin⁡x∣=1|\sin x| = 1. El teorema del sándwich da entonces y→0y \to 0 cuando x→+∞x \to +\infty.

Tres posiciones características

La derivada es y′=e−x(cos⁡x−sin⁡x)y' = e^{-x}(\cos x - \sin x). Como e−x>0e^{-x} > 0, los extremos están donde cos⁡x=sin⁡x\cos x = \sin x, es decir, en x=π4+nπx = \dfrac{\pi}{4} + n\pi. La segunda derivada es y′′=−2e−xcos⁡xy'' = -2e^{-x}\cos x, cuyo signo cambia donde cos⁡x=0\cos x = 0.

Posiciónxx
Extremoπ4+nπ\dfrac{\pi}{4} + n\pi
Contacto con la envolventeπ2+nπ\dfrac{\pi}{2} + n\pi
Punto de inflexiónπ2+nπ\dfrac{\pi}{2} + n\pi
Ceronπn\pi

Cada extremo llega π4\dfrac{\pi}{4} antes del punto de contacto. Al subir mientras decae, la curva pasa por su cima antes de que sin⁡x\sin x alcance su máximo. Los puntos de inflexión, en cambio, coinciden exactamente con los de contacto. El primer máximo es 22e−π/4≈0.322\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{-\pi/4} \approx 0.322, en x=π4x = \dfrac{\pi}{4}.

Lo deprisa que decae

Desplazar medio período da y(x+π)=−e−πy(x)y(x + \pi) = -e^{-\pi}y(x), así que la razón de los valores absolutos de extremos consecutivos es constante.

DesplazamientoRazón
Medio período π\pie−π≈0.0432e^{-\pi} \approx 0.0432
Período completo 2π2\pie−2π≈0.00187e^{-2\pi} \approx 0.00187

La oscilación se apaga con muchísima rapidez. El logaritmo de esa razón constante se llama decremento logarítmico y se usa como medida de lo amortiguado que está un sistema.

Comportamiento por la izquierda

Cuando x→−∞x \to -\infty el factor e−xe^{-x} diverge, así que la oscilación crece exponencialmente en amplitud. La misma fórmula muestra dos caras completamente distintas en la mitad izquierda y en la derecha de la gráfica.

Integral

∫0∞e−axsin⁡(bx) dx=ba2+b2\int_0^{\infty} e^{-ax}\sin(bx)\,dx = \frac{b}{a^2+b^2}

Tomar a=b=1a = b = 1 da 12\dfrac{1}{2}. La fórmula es una de las entradas básicas de una tabla de transformadas de Laplace.

Aplicaciones

  • La respuesta transitoria de un sistema vibrante con un muelle y un amortiguador
  • La oscilación amortiguada de un circuito RLCRLC
  • El modo en que se apacigua el balanceo de un edificio o de un puente

Es la imagen de lo que ocurre cuando el amortiguamiento es débil: el caso subamortiguado, en el que el movimiento oscila unas cuantas veces antes de apagarse.

  1. Damping, Wikipedia