Mediatriz de un segmento

Hallemos la mediatriz del segmento $AB$ con $A(-1, 0)$ y $B(3, 2)$¹.

A partir del punto medio y la pendiente

Como pasa por $M(1, 1)$, la recta es $y - 1 = -2(x - 1)$, es decir, $y = -2x + 3$.

A partir de la condición de equidistancia

Lo que la recta es en realidad, sin embargo, es el conjunto de los puntos que equidistan de $A$ y de $B$, y esa descripción basta para producir la ecuación por sí sola. Si $(x, y)$ equidista de $A$ y de $B$, se cumple lo siguiente.

Al elevar al cuadrado ambos miembros y desarrollar, los términos en $x^2$ e $y^2$ se cancelan y solo sobrevive una ecuación de primer grado.

Es exactamente la recta hallada con el punto medio y la pendiente perpendicular. Precisamente porque los términos cuadrados se cancelan, una condición sobre distancias acaba describiendo una recta.

Comprobación en el punto medio

Desde $M(1, 1)$, la distancia a $A(-1, 0)$ es $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$, y a $B(3, 2)$ es también $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$. El punto medio es el único punto de la mediatriz que está sobre el propio segmento.

Aplicaciones

Leer la recta como un conjunto de puntos equidistantes abre la puerta a sus aplicaciones.

• Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en el circuncentro
• La frontera entre los territorios de las dos tiendas más cercanas en un mapa, es decir, un diagrama de Voronoi²
• Construir el centro de la circunferencia que pasa por tres puntos dados

El circuncentro funciona justamente porque ese punto equidista de los tres vértices.

Cambiar la razón

Si en lugar de $1 : 1$ se piden los puntos cuyas distancias a $A$ y a $B$ guardan la razón $2 : 1$, el lugar geométrico no es una recta en absoluto, sino una circunferencia: la circunferencia de Apolonio³.

Los términos cuadrados se cancelan, dejando una recta, solo en el caso equidistante.

Los puntos grandes marcan $A$, $B$ y el punto medio $M$.

1. Bisection, Wikipedia
2. Voronoi diagram, Wikipedia
3. Circles of Apollonius, Wikipedia