y=arctan⁡xy = \arctan x

Arcotangente (tangente inversa) y=arctan⁡xy = \arctan x

arctan⁡x\arctan x, la tangente inversa o arcotangente, es la inversa de la función tangente tan⁡\tan1. Como tan⁡\tan tiene período π\pi, se restringe al intervalo (−π2,π2)\left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right), en el que crece, y la inversa de esa restricción, el valor principal, es arctan⁡\arctan.

Definición

y=arctan⁡xy = \arctan x es el valor yy que cumple a la vez las dos condiciones siguientes.

  • tan⁡y=x\tan y = x
  • −π2<y<π2-\dfrac{\pi}{2} < y < \dfrac{\pi}{2}

Dominio y rango

Como tan⁡\tan toma todos los valores reales en ese intervalo, el dominio de arctan⁡\arctan es el conjunto de todos los números reales. El rango es el intervalo abierto (−π2,π2)\left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right), y los valores de los extremos no se alcanzan nunca.

Simetría y monotonía

Como arctan⁡(−x)=−arctan⁡x\arctan(-x) = -\arctan x, es una función impar y su gráfica es simétrica respecto del origen. La derivada es la siguiente.

ddxarctan⁡x=11+x2\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}

Es siempre positiva, así que la función crece de forma monótona. El denominador no se anula nunca, de modo que la función es suave en toda la recta real, sin ninguna de las tangentes verticales que el arcoseno y el arcocoseno tienen en sus extremos.

Asíntotas

xxarctan⁡x\arctan x
→−∞\to -\infty→−π2\to -\dfrac{\pi}{2}
−3-\sqrt{3}−π3-\dfrac{\pi}{3}
−1-1−π4-\dfrac{\pi}{4}
0000
11π4\dfrac{\pi}{4}
3\sqrt{3}π3\dfrac{\pi}{3}
→+∞\to +\infty→π2\to \dfrac{\pi}{2}

Las asíntotas horizontales y=π2y = \dfrac{\pi}{2} e y=−π2y = -\dfrac{\pi}{2} dan una curva suave en forma de S, y los valores no cruzan nunca esas dos rectas.

Punto de inflexión

La segunda derivada es y′′=−2x(1+x2)2y'' = -\dfrac{2x}{(1 + x^2)^2}, cuyo signo cambia solo en x=0x = 0. El origen es, por tanto, el único punto de inflexión, y es además el centro de simetría. Cerca de él, arctan⁡x≈x\arctan x \approx x.

Serie y el número π\pi

El desarrollo en torno al origen converge en el intervalo [−1,1][-1, 1].

arctan⁡x=x−x33+x55−⋯\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots

Sustituir x=1x = 1 y usar arctan⁡1=π4\arctan 1 = \dfrac{\pi}{4} da la serie de Leibniz2.

π4=1−13+15−17+⋯\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots

Su convergencia es lentísima, así que los cálculos prácticos de π\pi usan fórmulas construidas con argumentos menores, como arctan⁡15\arctan\dfrac{1}{5}.

Ángulo polar y atan2

Para hallar el ángulo polar de un punto (x,y)(x, y), usar arctan⁡yx\arctan\dfrac{y}{x} por sí solo no permite distinguir el primer cuadrante del tercero, ni el segundo del cuarto. Esa ambigüedad es la razón de que casi todos los lenguajes de programación ofrezcan una función aparte de dos argumentos, atan2, que devuelve el ángulo correcto en cualquier dirección.

Aplicaciones

  • Recuperar un ángulo a partir de una pendiente
  • La integral ∫dx1+x2=arctan⁡x+C\int \frac{dx}{1 + x^2} = \arctan x + C
  • Los cálculos de fase en procesamiento de señales e ingeniería de control
  • La rotación y la orientación en informática gráfica
  1. Inverse trigonometric functions, Wikipedia
  2. Leibniz formula for pi, Wikipedia