Gráfica de la función signo $y = \operatorname{sgn} x$

$y = \operatorname{sgn} x$ se llama función signo. Extrae únicamente el signo de un número real $x$ y devuelve uno de tres valores¹.

Dominio y rango

El dominio es el conjunto de todos los números reales, pero el rango consta de solo tres valores: $-1$, $0$ y $1$. La gráfica son dos semirrectas horizontales, a altura $-1$ para $x < 0$ y a altura $1$ para $x > 0$, con un único punto aislado de altura $0$ en el origen.

Simetría

Como $\operatorname{sgn}(-x) = -\operatorname{sgn} x$, la función es impar, con simetría central respecto del origen. El valor $\operatorname{sgn}(0) = 0$ es coherente con esa simetría; de hecho, tomar $0$ en el origen viene obligado por la imparidad.

Discontinuidad y salto

El origen es el único punto de discontinuidad. El límite por la izquierda es $-1$ y por la derecha es $+1$, así que los dos no coinciden y el salto tiene tamaño $2$. El valor mismo es $0$, a mitad de camino. En todo lo demás la función es constante, y por tanto continua, con derivada $0$.

Relación con el valor absoluto

La función signo está estrechamente ligada al valor absoluto.

La segunda vale solo para $x \neq 0$. Derivar $|x|$ da $\operatorname{sgn} x$ en $x \neq 0$: derivar una función con un pico produce una función con un salto.

Relación con la función escalón

Está relacionada con la función escalón de Heaviside $H(x)$ de la manera siguiente².

La función escalón toma los dos valores $0$ y $1$; duplicarla verticalmente y bajarla en $1$ da la función signo. El rango pasa entonces a ser simétrico entre $-1$ y $1$, lo que resulta cómodo para representar una dirección.

Aplicaciones

• Calcular un valor absoluto y reunir una distinción de casos en una sola fórmula
• El control todo o nada en ingeniería de control
• La clasificación por el signo en aprendizaje automático

Se luce allí donde importa más la dirección de una magnitud que su tamaño.

1. Sign function, Wikipedia
2. Heaviside step function, Wikipedia