Integración por sustitución

La integración por sustitución es la regla de la cadena usada al revés¹. Lo comprobamos con $\int \dfrac{2x}{1 + x^2}\,dx$ .

Sustituir el denominador

Poniendo $t = 1 + x^2$ resulta $\dfrac{dt}{dx} = 2x$ , es decir, $dt = 2x\,dx$ . El $2x\,dx$ del numerador se convierte directamente en $dt$ .

\int \frac{2x}{1 + x^2}\,dx = \int \frac{dt}{t} = \log|t| = \log\left( 1 + x^2 \right) + C

Al derivar para comprobarlo, la regla de la cadena da $\left\{ \log\left( 1 + x^2 \right) \right\}' = \dfrac{1}{1 + x^2} \cdot 2x$ , que devuelve la función original.

En una integral definida también cambian los límites

Cuando $x$ recorre de $0$ a $1$ , la variable $t$ recorre de $1$ a $2$ .

\int_0^1 \frac{2x}{1 + x^2}\,dx = \int_1^2 \frac{dt}{t} = \log 2 \approx 0.693

Una vez convertidos los límites a $t$ , no hace falta volver a $x$ .

Las formas a las que se ajusta

Las formas que funcionan son limitadas: el integrando debe tener el aspecto $g(h(x)) \cdot h'(x)$ , con la derivada de la función interior multiplicando.

Integral	Sustitución	Resultado
$\int \dfrac{2x}{1+x^2}dx$	$t = 1+x^2$	$\log(1+x^2)$
$\int \sin^2 x \cos x\,dx$	$t = \sin x$	$\dfrac{\sin^3 x}{3}$
$\int 2x\cos(x^2)dx$	$t = x^2$	$\sin(x^2)$

Cuando el coeficiente no encaja, se ajusta con una constante. Para $\int \dfrac{x}{1 + x^2}\,dx$ la respuesta es $\dfrac{1}{2}\log\left( 1 + x^2 \right)$ : el factor $2$ que falta sale simplemente fuera.

Sustituir en el sentido contrario

La sustitución también puede hacerse en el sentido contrario. En $\int_0^1 \sqrt{1 - x^2}\,dx$ , poniendo $x = \sin\theta$ resulta $dx = \cos\theta\,d\theta$ .

\int_0^{\pi/2} \cos^2\theta\,d\theta = \frac{\pi}{4}

Eso es el área de un cuarto de círculo. Este patrón, eliminar una raíz con una función trigonométrica, reaparece por todas partes en las integrales donde hay círculos y elipses.

La curva con joroba de la gráfica es $y = \dfrac{2x}{1 + x^2}$ , la curva siempre creciente es la primitiva $y = \log\left( 1 + x^2 \right)$ , y los puntos grandes son $(1, 1)$ y $(1, \log 2)$ .

Integration by substitution, Wikipedia