y=arcsin⁡xy = \arcsin x

Arcoseno (seno inverso) y=arcsin⁡xy = \arcsin x

arcsin⁡x\arcsin x, el seno inverso o arcoseno, es la inversa de la función seno sin⁡\sin1. Como sin⁡\sin es periódica, no es inyectiva en todo su dominio, así que se restringe al intervalo [−π2,π2]\left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right], en el que crece, y la inversa de esa restricción, el valor principal, es arcsin⁡\arcsin.

Definición

y=arcsin⁡xy = \arcsin x es el valor yy que cumple a la vez las dos condiciones siguientes.

  • sin⁡y=x\sin y = x
  • −π2≤y≤π2-\dfrac{\pi}{2} \leq y \leq \dfrac{\pi}{2}

Dominio y rango

El dominio es el intervalo [−1,1][-1, 1], ya que sin⁡\sin no toma valores fuera de −1-1 a 11. El rango es el intervalo [−π2,π2]\left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right].

Simetría y monotonía

Como arcsin⁡(−x)=−arcsin⁡x\arcsin(-x) = -\arcsin x, es una función impar y su gráfica es simétrica respecto del origen. La derivada es la siguiente.

ddxarcsin⁡x=11−x2(−1<x<1)\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \quad (-1 < x < 1)

Es siempre positiva, así que la función crece de forma monótona en todo su dominio.

Valores destacados

xxarcsin⁡x\arcsin x
−1-1−π2-\dfrac{\pi}{2}
0000
12\dfrac{1}{2}π6\dfrac{\pi}{6}
22\dfrac{\sqrt{2}}{2}π4\dfrac{\pi}{4}
32\dfrac{\sqrt{3}}{2}π3\dfrac{\pi}{3}
11π2\dfrac{\pi}{2}

Tangentes en los extremos

En x=±1x = \pm 1 el denominador de la derivada tiende a 00, así que la pendiente crece sin límite y la tangente se vuelve vertical. Las tangentes horizontales que sin⁡\sin tiene en x=±π2x = \pm\dfrac{\pi}{2} aparecen como tangentes verticales en la inversa. Cerca del origen, arcsin⁡x≈x\arcsin x \approx x.

Relación con el arcocoseno

arcsin⁡x+arccos⁡x=π2\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}

Los dos suman siempre un ángulo recto: lo que gana arcsin⁡\arcsin lo cede arccos⁡\arccos, así que la suma no se mueve.

Desarrollo en serie

El desarrollo en torno al origen converge en el intervalo [−1,1][-1, 1].

arcsin⁡x=x+x36+3x540+⋯\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots

Aplicaciones

  • Los problemas inversos que recuperan un ángulo a partir del valor de su seno
  • Los cálculos de fase en el movimiento armónico simple y en las ondas
  • La resolución de triángulos, donde el teorema del seno da un ángulo
  • La integral ∫dx1−x2=arcsin⁡x+C\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin x + C
  1. Inverse trigonometric functions, Wikipedia