y=sin⁡x+cos⁡xy = \sin x + \cos x

Gráfica de la función y=sin⁡x+cos⁡xy = \sin x + \cos x

y=sin⁡x+cos⁡xy = \sin x + \cos x se limita a sumar un seno y un coseno. Se superponen dos ondas y, sin embargo, el resultado vuelve a ser una sola onda sinusoidal. Es el caso más simple y más bonito de lo que se llama componer funciones trigonométricas1.

Componer las dos

Aplicar al revés la fórmula de la suma reduce el conjunto.

sin⁡x+cos⁡x=2 sin⁡(x+π4)\sin x + \cos x = \sqrt{2}\,\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)

Desarrollar el segundo miembro devuelve el original.

2 sin⁡(x+π4)=2(sin⁡xcos⁡π4+cos⁡xsin⁡π4)=2(22sin⁡x+22cos⁡x)=sin⁡x+cos⁡x\begin{align*} \sqrt{2}\,\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) &= \sqrt{2}\left(\sin x\cos\frac{\pi}{4} + \cos x\sin\frac{\pi}{4}\right) \\ &= \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right) \\ &= \sin x + \cos x \end{align*}

Las dos amplitudes de partida valen 11 y, aun así, la amplitud combinada es 2\sqrt{2}, porque las dos ondas van desfasadas un cuarto de período. Es la misma aritmética que sumar dos vectores perpendiculares de longitud 11 para obtener uno de longitud 2\sqrt{2}.

Rango y período

  • La amplitud es 2≈1.414\sqrt{2} \approx 1.414
  • El período es 2π2\pi
  • El rango es −2≤y≤2-\sqrt{2} \leq y \leq \sqrt{2}
  • El máximo cae en x=π4+2nπx = \dfrac{\pi}{4} + 2n\pi y el mínimo en x=5π4+2nπx = \dfrac{5\pi}{4} + 2n\pi

Ceros y simetría

La ecuación sin⁡x+cos⁡x=0\sin x + \cos x = 0 es la misma que tan⁡x=−1\tan x = -1, así que los ceros están en x=3π4+nπx = \dfrac{3\pi}{4} + n\pi. La función no es par ni impar, pero es simétrica respecto de la recta vertical x=π4x = \dfrac{\pi}{4} que pasa por su máximo.

La manera más clara de leer la gráfica es como sin⁡x\sin x desplazada π4\dfrac{\pi}{4} hacia la izquierda y estirada verticalmente en 2\sqrt{2}.

xxyy
0011
π4\dfrac{\pi}{4}2\sqrt{2}
3π4\dfrac{3\pi}{4}00
5π4\dfrac{5\pi}{4}−2-\sqrt{2}
7π4\dfrac{7\pi}{4}00

Monotonía y concavidad

La derivada es y′=cos⁡x−sin⁡x=2cos⁡(x+π4)y' = \cos x - \sin x = \sqrt{2}\cos\left( x+\dfrac{\pi}{4} \right). La segunda derivada cumple exactamente la ecuación del movimiento armónico simple.

y′′=−sin⁡x−cos⁡x=−yy'' = -\sin x - \cos x = -y

Los puntos de inflexión coinciden, por tanto, con los ceros, en x=3π4+nπx = \dfrac{3\pi}{4} + n\pi.

El caso general

El mismo cálculo da la forma general.

asin⁡x+bcos⁡x=a2+b2 sin⁡(x+α)a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\,\sin(x+\alpha)

Aquí α\alpha queda fijado por cos⁡α=aa2+b2\cos\alpha = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} y sin⁡α=ba2+b2\sin\alpha = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}. La amplitud a2+b2\sqrt{a^2+b^2} es el teorema de Pitágoras disfrazado, lo que deja claro que los dos términos se están sumando como vectores.

Aplicaciones

En un circuito de corriente alterna, la corriente que atraviesa una resistencia y la que atraviesa un condensador o una bobina van desfasadas un cuarto de período, así que hallar la corriente total es precisamente esta composición. Que la amplitud no sea la suma sin más, sino la raíz cuadrada de una suma de cuadrados, es la base de los cálculos de impedancia. La misma estructura gobierna la interferencia de ondas y la representación de una señal mediante un fasor, con su amplitud y su fase2.

  1. List of trigonometric identities, Wikipedia
  2. Phasor, Wikipedia