Intersección de una gráfica de valor absoluto y una recta

La gráfica del valor absoluto $y = |x|$ tiene forma de V con un pico en el origen. Une dos semirrectas: $y = x$ para $x \geq 0$ e $y = -x$ para $x < 0$ . Hallamos dónde esta $y = |x|$ se encuentra con la recta $y = 2$ .

Hallar las intersecciones

En una intersección, $|x| = 2$ . Dos números tienen valor absoluto $2$ , a saber, $2$ y $-2$ , así que $x = 2, -2$ . Ambos dan $y = 2$ , de modo que los puntos de intersección son $(2, 2)$ y $(-2, 2)$ .

Quitar el valor absoluto por casos

La manera habitual de quitar un valor absoluto es separar en casos.

Intervalo	Ecuación sin el valor absoluto	Solución	¿Encaja en su intervalo?
$x \geq 0$	$x = 2$	$x = 2$	sí
$x < 0$	$-x = 2$	$x = -2$	sí

Esa última comprobación importa: cada solución debe caer en el intervalo del que salió, y un valor que quede fuera del suyo hay que descartarlo.

Leerlo como una distancia

El valor absoluto es también una distancia al origen. Al leer $|x| = 2$ como la pregunta por los números que están a $2$ de $0$ , la recta numérica ofrece uno a la derecha y otro a la izquierda. Las dos intersecciones son exactamente esa simetría izquierda-derecha. Decir que $y = |x|$ es par y simétrica respecto del eje $y$ , y decir que las intersecciones quedan simétricas en $x = \pm 2$ , es la misma afirmación.

Cuidado al elevar al cuadrado

También se pueden elevar al cuadrado ambos miembros, convirtiendo $|x| = 2$ en $x^2 = 4$ y de ahí $x = \pm 2$ . Pero elevar al cuadrado descarta el signo, así que exige cuidado. La ecuación $|x| = -1$ no tiene solución, evidentemente, porque el primer miembro nunca es negativo; sin embargo, al elevar al cuadrado sale $x^2 = 1$ y las soluciones extrañas $x = \pm 1$ . Siempre que se eleve al cuadrado hay que sustituir en la ecuación original para comprobar.

Subir y bajar la recta

Recta	Número de intersecciones	Intersecciones
$y = k$ con $k > 0$	$2$	$(\pm k, k)$
$y = 0$	$1$	el origen
$y = k$ con $k < 0$	$0$	ninguna

El pico de la V está en el origen, y ahí es donde cambia el recuento.

Como inecuación

Una inecuación de la forma $|x - a| < d$ describe todo lo que está a menos de $d$ de $a$ , es decir, $a - d < x < a + d$ . Las tolerancias de una medida se escriben así precisamente porque el valor absoluto es una distancia. Los puntos grandes de la gráfica son los puntos de intersección $(2, 2)$ y $(-2, 2)$ .