El teorema del valor medio

Dentro de cualquier intervalo hay siempre una tangente paralela a la secante que une los dos extremos. Ese es el teorema del valor medio¹. Lo confirmamos para $f(x) = x^2$ en el intervalo $[1, 2]$.

La pendiente de la secante

Buscar una tangente de la misma pendiente

Como $f'(x) = 2x$, resolver $f'(c) = 3$ da $c = \dfrac{3}{2}$, que queda dentro del intervalo $1 < c < 2$.

El punto de tangencia es $\left( \dfrac{3}{2}, \dfrac{9}{4} \right)$ y la tangente es $y = 3x - \dfrac{9}{4}$. En la gráfica aparece como una recta paralela a la secante $y = 3x - 2$.

Qué dice el teorema

Si $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ y derivable en el intervalo abierto $(a, b)$, entonces al menos un $c$ entre $a$ y $b$ cumple lo siguiente.

Al menos uno, así que no hay objeción a que haya dos o más.

El teorema de Rolle

El caso $f(a) = f(b)$ es especial. El segundo miembro vale entonces $0$, así que algún $c$ del interior del intervalo cumple $f'(c) = 0$. Ese es el teorema de Rolle².

Las hipótesis hacen falta

La continuidad por sí sola no basta sin la derivabilidad. Véase $f(x) = |x|$ en $[-1, 1]$: la secante tiene pendiente $0$, pero no hay tangente de pendiente $0$ en ningún sitio, porque la función no es derivable en $x = 0$.

Para qué sirve

El teorema del valor medio es el puente entre una tasa de variación media y una derivada en un punto. Incluso el hecho aparentemente evidente de que $f' > 0$ implique una función creciente se demuestra a partir de él, tomando dos puntos y escribiendo $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) > 0$.

La parábola de la gráfica es $y = x^2$, la recta que pasa por los dos puntos es la secante, la recta paralela a ella es la tangente, y los puntos grandes son $(1, 1)$, $(2, 4)$ y el punto de tangencia.

1. Mean value theorem, Wikipedia
2. Rolle's theorem, Wikipedia