Recta tangente a una parábola

Una recta tangente a una parábola es una recta que apenas toca la curva o, lo que es lo mismo, una recta que tiene la misma pendiente que la curva en el punto de contacto¹. Aquí hallamos la tangente a $y = x^2$ en el punto $(1, 1)$.

A partir de la derivada

Al derivar $y = x^2$ se obtiene $y' = 2x$, así que la pendiente en $x = 1$ vale $2$. La recta tangente es $y - 1 = 2(x - 1)$, es decir, $y = 2x - 1$.

A partir de una raíz doble

La tangencia se puede confirmar sin cálculo diferencial. Al resolver juntas la parábola y la recta queda $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 = 0$. La solución es una raíz doble, de modo que hay exactamente un punto común. La tangencia es lo que ocurre cuando dos puntos de intersección se funden en uno.

Hallar la pendiente sin derivar

Escribamos la recta que pasa por $(1, 1)$ con pendiente $m$ como $y = m(x - 1) + 1$ y combinémosla con la parábola para llegar a $x^2 - mx + m - 1 = 0$. La tangencia exige que el discriminante se anule.

Por tanto $m = 2$, en acuerdo con la pendiente obtenida derivando. Resulta grato que el discriminante sea un cuadrado perfecto, lo que fija la pendiente de la tangente en un único valor.

La tangente general

La tangente a $y = x^2$ en $(a, a^2)$ es $y = 2ax - a^2$. Al mover el punto de contacto, la pendiente $2a$ se mueve con él, y la manera en que se mueve no es otra cosa que la derivada $y' = 2x$. En la recta tangente empieza toda la idea de la derivación.

Dos tangentes desde un punto exterior

Tomemos $(0, -1)$: una recta $y = mx - 1$ que pase por él corta a la parábola donde $x^2 - mx + 1 = 0$, y $D = m^2 - 4 = 0$ da $m = \pm 2$.

El par de tangentes abraza la curva por ambos lados.

Una tangente es una aproximación

Cerca del punto de contacto, la curva puede tratarse como la recta.

Sustituir localmente una curva por una recta es la idea que hay detrás de toda aplicación de la derivada. El punto grande de la gráfica es el punto de tangencia.

1. Tangent, Wikipedia