y = \operatorname{arcoth} x

La cotangente hiperbólica inversa $y = \operatorname{arcoth} x$

$\operatorname{arcoth} x$ , la cotangente hiperbólica inversa, es la inversa de $\coth x = \dfrac{\cosh x}{\sinh x}$ ¹. Como $\coth$ aplica de forma monótona cada rama de $x \neq 0$ sobre la región $|y| > 1$ , el dominio de su inversa es $|x| > 1$ .

Definición y forma cerrada

$y = \operatorname{arcoth} x$ es el valor $y$ con $x = \coth y$ . Escrito con un logaritmo toma la forma siguiente.

\operatorname{arcoth} x = \frac{1}{2}\ln\frac{x+1}{x-1}

El argumento $\dfrac{x+1}{x-1}$ es positivo exactamente cuando $x > 1$ o $x < -1$ , lo que coincide con el dominio.

Dominio y rango

El dominio es $x < -1$ o $x > 1$
El rango es $y \neq 0$
Decrece de forma monótona en cada rama
Es una función impar

No hay valor alguno en $-1 \leq x \leq 1$ . Que falte el $0$ en el rango es la contrapartida de que $\coth$ no tome nunca el valor $0$ .

Simetría y asíntotas

Como $\coth$ es impar, también lo es su inversa, y la gráfica tiene simetría central respecto del origen.

Aproximación	$\operatorname{arcoth} x$
$x \to 1^{+}$	$\to +\infty$
$x \to -1^{-}$	$\to -\infty$
$x \to \pm\infty$	$\to 0$

Las rectas $x = 1$ y $x = -1$ son asíntotas verticales y el eje $x$ es una horizontal.

Monotonía y concavidad

La derivada es $\dfrac{d}{dx}\operatorname{arcoth} x = \dfrac{1}{1-x^{2}}$ . En el dominio se cumple $x^{2} > 1$ , así que el denominador es negativo y la derivada es siempre negativa: la función decrece en las dos ramas.

La segunda derivada es $\dfrac{2x}{(1-x^{2})^{2}}$ , que lleva el signo de $x$ , de modo que la curva es cóncava hacia arriba para $x > 1$ y cóncava hacia abajo para $x < -1$ , sin punto de inflexión.

Valores destacados

$x$	$\operatorname{arcoth} x$
$1.5$	$\dfrac{1}{2}\ln 5 \approx 0.8047$
$2$	$\dfrac{1}{2}\ln 3 \approx 0.5493$
$3$	$\dfrac{1}{2}\ln 2 \approx 0.3466$
$10$	$\approx 0.1003$

Relación con la tangente hiperbólica inversa

La derivada $\dfrac{1}{1-x^{2}}$ es exactamente la derivada de $\operatorname{artanh} x$ . Lo único que cambia es el dominio: las dos funciones se hacen cargo de la misma fórmula en zonas complementarias.

Aspecto	$\operatorname{artanh} x$	$\operatorname{arcoth} x$
Dominio	$\|x\| < 1$	$\|x\| > 1$
Rango	todos los números reales	$y \neq 0$
Derivada	$\dfrac{1}{1-x^{2}}$	$\dfrac{1}{1-x^{2}}$
Comportamiento	creciente	decreciente en cada rama

Por eso la integral $\int \dfrac{dx}{1-x^{2}}$ hay que escribirla de forma distinta en cada intervalo, aunque un valor absoluto permite reunir los dos casos.

\int \frac{dx}{1-x^{2}} = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right| + C

La relación a través de una recíproca

\operatorname{arcoth} x = \operatorname{artanh}\frac{1}{x}

Cuando $|x| > 1$ se tiene $\left|\dfrac{1}{x}\right| < 1$ , así que el segundo miembro cae exactamente dentro del dominio de $\operatorname{artanh}$ . Que $\coth$ sea la inversa multiplicativa de $\tanh$ se manifiesta, del lado de las inversas, como una recíproca del argumento.

Inverse hyperbolic functions, Wikipedia

La cotangente hiperbólica inversa y=arcoth⁡xy = \operatorname{arcoth} xy=arcothx