La recta tangente a una circunferencia

Una tangente a una circunferencia es una recta que la toca en exactamente un punto¹. Aquí hallamos la tangente a $x^2 + y^2 = 25$ , de centro $O(0, 0)$ y radio $5$ , en el punto $(4, 3)$ de la curva. Primero comprobamos que el punto está sobre ella: $16 + 9 = 25$ .

El radio fija la dirección

Lo que fija la dirección de la tangente es el radio hasta el punto de tangencia, con el que la tangente forma un ángulo recto.

Recta	Pendiente
Radio $O \to (4, 3)$	$\dfrac{3}{4}$
Tangente	$-\dfrac{4}{3}$

La recta que pasa por $(4, 3)$ con pendiente $-\dfrac{4}{3}$ se reordena hasta dar $4x + 3y = 25$ .

Una fórmula para la tangente

Para la circunferencia $x^2 + y^2 = r^2$ y un punto $(x_1, y_1)$ de ella, la tangente puede escribirse directamente.

x_1 x + y_1 y = r^2

Poniendo $(x_1, y_1) = (4, 3)$ y $r^2 = 25$ sale la misma recta. Para una circunferencia centrada en $(a, b)$ la tangente es $(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2$ .

Tres maneras de ver la tangencia

Punto de vista	Qué proporciona
Geometría	la tangente es perpendicular al radio
Álgebra	una raíz doble, $(x - 4)^2 = 0$
Distancia	$\dfrac{\|-25\|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = 5$ , igual al radio

Sustituir la tangente en la circunferencia y simplificar da $x^2 - 8x + 16 = 0$ , cuya única solución es $x = 4$ . Un discriminante igual a $0$ es lo que realmente significa la tangencia. Si la distancia del centro fuera menor que el radio, la recta cortaría la circunferencia dos veces; si fuera mayor, no se encontrarían.

Desde un punto exterior a la circunferencia, dicho sea de paso, siempre salen dos rectas tangentes.

Los puntos grandes de la gráfica son el centro y el punto de tangencia; se ve cómo el radio y la tangente se cortan en ángulo recto.

Tangent lines to circles, Wikipedia