Simetría de las funciones exponencial y logarítmica

La función exponencial $y = e^x$ y la función logarítmica $y = \ln x$ son funciones inversas, y sus gráficas son simétricas respecto de la recta $y = x$.

Qué es una función inversa

Una función inversa intercambia los papeles de $x$ e $y$. La función $y = e^x$ toma $x$ y devuelve $e^x$; recorrer el camino contrario, recuperar $x$ a partir del valor, es $y = \ln x$. Por ejemplo, $e^x$ pasa por $y = 1$ en $x = 0$, y $\ln x$ pasa por $y = 0$ en $x = 1$. Puntos como $(0, 1)$ y $(1, 0)$, con las coordenadas $x$ e $y$ intercambiadas, se corresponden entre sí.

Cómo se construye

Una inversa puede construirse mecánicamente. Despejar $x$ en $y = e^x$ da $x = \ln y$; renombrar las letras para que la entrada vuelva a llamarse $x$ da $y = \ln x$. Esa receta, despejar y luego intercambiar los nombres, es como se fabrican las inversas, y el intercambio de nombres es exactamente lo que hace reflejar la gráfica respecto de $y = x$.

Por qué la simetría es respecto de $y = x$

En general, los puntos $(a, b)$ y $(b, a)$ son simétricos respecto de la recta $y = x$. Como una inversa intercambia $(x, y)$, para cada punto $(a, b)$ de $y = f(x)$ la inversa tiene el punto $(b, a)$. Así que las dos gráficas son reflejos una de la otra con $y = x$ por espejo.

Qué queda intercambiado

Aplicar las dos una tras otra devuelve al punto de partida: $\ln(e^x) = x$ y $e^{\ln x} = x$ dicen que la ida y vuelta no cambia nada. Que $e^x$ tenga el eje $x$ por asíntota mientras $\ln x$ tiene el eje $y$ es igualmente el mismo hecho visto en el espejo.

Pendientes de las tangentes

Las pendientes de las tangentes también se corresponden. La tangente a $e^x$ en $(0, 1)$ tiene pendiente $1$, y la tangente a $\ln x$ en $(1, 0)$ también tiene pendiente $1$. La reflexión convierte una pendiente en su inversa, y la inversa de $1$ es $1$.

Cuándo existe la inversa

Solo una función inyectiva tiene inversa, y $e^x$ lo es porque crece de forma monótona. La simetría no es exclusiva de $e$: $2^x$ y $\log_2 x$ guardan exactamente la misma relación. Los puntos grandes de la gráfica son la pareja simétrica $(0, 1)$ y $(1, 0)$.