Intersección de una función trigonométrica y una recta

Hallar dónde una función trigonométrica se encuentra con una recta equivale a resolver una ecuación trigonométrica. Hallamos dónde $y = \sin x$ se encuentra con la recta $y = \dfrac{1}{2}$ .

Hallar las intersecciones

En una intersección, $\sin x = \dfrac{1}{2}$ . En $0 \leq x < 2\pi$ hay dos valores que lo cumplen.

$x = \dfrac{\pi}{6}$
$x = \dfrac{5\pi}{6}$

El seno toma el valor $\dfrac{1}{2}$ en $x = \dfrac{\pi}{6}$ y en la posición simétrica $x = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$ .

Por qué aparecen dos soluciones

Sobre la circunferencia unidad, el punto de ángulo $\theta$ y el de ángulo $\pi - \theta$ son simétricos respecto del eje $y$ . Como el seno es la altura del punto, dos puntos simétricos a izquierda y derecha tienen la misma altura.

\sin(\pi - \theta) = \sin\theta

Esa simetría es la razón de que un solo valor produzca dos soluciones.

Repetición por el período

Como $\sin x$ se repite con período $2\pi$ , esas dos no son las únicas intersecciones. Los mismos cruces reaparecen cada $2\pi$ , lo que da infinitas soluciones.

\begin{align*} x &= \frac{\pi}{6} + 2n\pi \\ x &= \frac{5\pi}{6} + 2n\pi \end{align*}

Aquí $n$ es un entero cualquiera.

La función inversa y el valor principal

La función inversa da $\arcsin\dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{6}$ , pero ese es el valor principal, tomado de la restricción $-\dfrac{\pi}{2} \leq x \leq \dfrac{\pi}{2}$ , y es solo una de las respuestas. Las demás se arman con la simetría y la periodicidad que acabamos de describir.

Para $\cos x = \dfrac{1}{2}$ el eje de simetría pasa del eje $y$ al eje $x$ , y las soluciones toman la forma $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2n\pi$ .

La altura de la recta y el número de intersecciones

Intervalo de $k$	Intersecciones por período	Cómo se encuentran
$\|k\| > 1$	$0$	sin intersección
$k = 1$	$1$	tangente en una cresta
$-1 < k < 1$	$2$	se cortan formando ángulo
$k = -1$	$1$	tangente en un valle

Preguntas como durante qué intervalos de tiempo una tensión alterna supera un nivel dado se reducen a ecuaciones exactamente de esta clase.

Los puntos grandes son las dos intersecciones en $0 \leq x < 2\pi$ , a saber, $\left( \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{1}{2} \right)$ y $\left( \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{1}{2} \right)$ .