Gráfica de la función logit $y = \ln\dfrac{x}{1-x}$

$y = \ln\dfrac{x}{1-x}$ es la función logit, que estira una probabilidad entre $0$ y $1$ hasta cubrir toda la recta real. Es la inversa de la función logística y la herramienta habitual para manejar probabilidades en estadística y aprendizaje automático.

Dominio y rango

El argumento del logaritmo ha de ser positivo, así que $\dfrac{x}{1-x} > 0$, lo que da el dominio $0 < x < 1$. La función tiende a $-\infty$ cuando $x \to 0^{+}$ y a $+\infty$ cuando $x \to 1^{-}$, de modo que el rango es el conjunto de todos los números reales. Estirar un intervalo de anchura $1$ hasta cubrir la recta entera es exactamente para lo que sirve esta función.

Asíntotas y corte con el eje

Las rectas $x = 0$ y $x = 1$ son asíntotas verticales. Como $\dfrac{x}{1-x} = 1$ cuando $x = \dfrac{1}{2}$, el único corte con el eje $x$ es $\left( \dfrac{1}{2}, 0 \right)$.

Simetría

Se cumple $f(1-x) = \ln\dfrac{1-x}{x} = -f(x)$, así que la gráfica tiene simetría de rotación respecto del punto $\left( \dfrac{1}{2}, 0 \right)$. En términos probabilísticos, sustituir un suceso por su complementario se limita a cambiar el signo del logit.

Monotonía y concavidad

Escribiendo $y = \ln x - \ln(1-x)$ y derivando se obtiene la derivada.

Es positiva en todo el dominio, así que la función crece y no tiene extremos. Como $x(1-x)$ es máximo en $x = \dfrac{1}{2}$, donde vale $\dfrac{1}{4}$, la pendiente es ahí la menor posible, $4$, y se vuelve más brusca hacia ambos extremos. La segunda derivada $y'' = -\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{(1-x)^2}$ cambia de signo en $x = \dfrac{1}{2}$, lo que da un único punto de inflexión en $\left( \dfrac{1}{2}, 0 \right)$, con la curva cóncava hacia abajo a su izquierda y cóncava hacia arriba a su derecha.

Función inversa

Al despejar $x$ resulta $e^{y} = \dfrac{x}{1-x}$ y de ahí lo siguiente.

La inversa es, por tanto, la función logística, y las dos gráficas son reflejos una de la otra respecto de la recta $y = x$. Donde la logística comprime la recta real dentro de $(0, 1)$, el logit vuelve a estirar $(0, 1)$ hacia fuera.

Relación con el arcotangente hiperbólico

Sustituir $t = 2x - 1$ en $\operatorname{artanh} t = \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{1+t}{1-t}$ produce $\ln\dfrac{x}{1-x}$, así que el logit es igual a $2\operatorname{artanh}(2x-1)$. Es el arcotangente hiperbólico aplicado tras reescalar $(0, 1)$ hasta $(-1, 1)$.

Odds y aplicaciones

La cantidad $\dfrac{x}{1-x}$ es la razón de probabilidades, u odds, correspondiente a una probabilidad $x$, y el logit es su logaritmo.

En la regresión logística no se modela la probabilidad misma, sino su logit como función lineal de las variables explicativas: la probabilidad está obligada a quedar entre $0$ y $1$, mientras que el logit no tiene restricción y puede tratarse con los métodos lineales de siempre. Los valores previos a la activación en una red neuronal se llaman logits por esa misma razón.