Gráfica de la cosecante hiperbólica $y = \operatorname{csch} x$

La función cosecante hiperbólica $y = \operatorname{csch} x$ se define como la inversa multiplicativa del seno hiperbólico¹.

Es la contrapartida hiperbólica de la cosecante ordinaria $\csc x$. Hace pareja con la secante hiperbólica $\operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x}$ pero, como $\cosh x$ no se anula nunca mientras que $\sinh x$ sí lo hace en el origen, las dos se comportan de forma bien distinta.

Dominio y rango

• El dominio es $x \neq 0$
• El rango es $y \neq 0$
• Decrece de forma monótona en cada rama
• Es una función impar

Donde $\operatorname{sech}$ estaba definida en toda la recta y acotada dentro de $(0, 1]$, esta función tiene el dominio partido en dos y valores que crecen sin límite.

Simetría y signo

Como $\sinh$ es impar, su inversa también lo es, y la gráfica es simétrica respecto del origen. Es positiva para $x > 0$ y negativa para $x < 0$, así que la curva ocupa el primer y el tercer cuadrante.

Monotonía

La derivada es $\dfrac{d}{dx}\operatorname{csch} x = -\operatorname{csch} x \coth x$. Para $x > 0$ tanto $\operatorname{csch} x$ como $\coth x$ son positivos, así que la derivada es negativa; para $x < 0$ ambos son negativos, de modo que su producto es positivo y la derivada vuelve a ser negativa. La función decrece, por tanto, en las dos ramas y no tiene extremos.

Concavidad y asíntotas

La segunda derivada es $\dfrac{\cosh^{2}x + 1}{\sinh^{3}x}$. El numerador es siempre positivo, así que el signo sigue a $\sinh^{3}x$, que es el signo de $x$. La curva es cóncava hacia arriba para $x > 0$ y cóncava hacia abajo para $x < 0$, sin punto de inflexión.

El eje $y$ es una asíntota vertical y el eje $x$, una horizontal.

Dos caras

Cerca del origen $\sinh x \approx x$, así que la curva es casi indistinguible de una proporcionalidad inversa, mientras que a lo lejos cae exponencialmente hasta $0$.

En efecto, $\operatorname{csch}(0.001) \approx 999.9998$, casi exactamente el $\dfrac{1}{x} = 1000$ que daría una proporcionalidad inversa. La función tiene dos caras: proporcionalidad inversa cerca del origen y decaimiento exponencial a lo lejos.

Identidades e integral

En correspondencia con $\csc^{2}\theta - \cot^{2}\theta = 1$ de las funciones trigonométricas, se cumple lo siguiente.

Existe además la relación de argumento mitad $\coth x - \operatorname{csch} x = \tanh\dfrac{x}{2}$. La primitiva se corresponde directamente con el caso trigonométrico.

1. Hyperbolic functions, Wikipedia