Forma general y forma canónica de la circunferencia

La ecuación de una circunferencia se da a veces desarrollada, en forma general. A partir de $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$ pasamos a la forma canónica, en la que se leen el centro y el radio¹.

Completar el cuadrado

Completamos el cuadrado en $x$ y en $y$ por separado, usando $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$ e $y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4$ .

\begin{align*} (x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 - 3 &= 0 \\ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 &= 16 \end{align*}

Comparando con la forma canónica, el centro es $(3, -2)$ y el radio es $4$ .

Por qué la forma canónica se lee tan bien

Es la definición de circunferencia puesta por escrito: el conjunto de los puntos que están a distancia $r$ del centro. Elevar al cuadrado ambos miembros de la fórmula de la distancia $\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} = r$ la produce directamente.

La mitad del coeficiente de $x$ , que es $-6$ , vale $-3$ , y la mitad del coeficiente de $y$ , que es $4$ , vale $2$ ; son las coordenadas del centro con el signo cambiado.

No toda ecuación de esa forma es una circunferencia

Tras completar el cuadrado, el segundo miembro lo decide todo.

Término constante	Segundo miembro	El lugar geométrico
$-3$	$16$	una circunferencia de radio $4$
$+13$	$0$	el único punto $(3, -2)$
$+14$	$-1$	ningún punto real

Una suma de cuadrados nunca es negativa, así que el último caso no tiene solución.

Dos condiciones más

Los coeficientes de $x^2$ y de $y^2$ deben ser iguales
No debe haber término en $xy$

Con coeficientes distintos sale una elipse, y un término en $xy$ inclina la figura.

Los puntos grandes de la gráfica son el centro y un punto de la circunferencia, a un radio a su derecha.

Completing the square, Wikipedia