Gráfica de la tractriz $y = \ln\dfrac{1+\sqrt{1-x^2}}{x} - \sqrt{1-x^2}$

$y = \ln\dfrac{1 + \sqrt{1-x^2}}{x} - \sqrt{1-x^2}$ es la curva conocida como tractriz¹. El nombre viene del latín «arrastrar»: es la trayectoria que describe un objeto tirado por una cuerda de longitud $1$ cuyo otro extremo recorre el eje $y$ hacia abajo. Con el arcocoseno hiperbólico también puede escribirse $y = \operatorname{arcosh}\dfrac{1}{x} - \sqrt{1-x^2}$.

Dominio y rango

• El dominio es $0 < x \leq 1$
• El rango es $y \geq 0$
• La función decrece de forma monótona
• El eje $y$ es una asíntota vertical

En $x = 1$ se tiene $y = 0$, y cuando $x \to 0^{+}$ el valor $\ln\dfrac{2}{x} - 1$ tiende a $+\infty$.

La tangente de longitud constante

Lo que caracteriza a esta curva es una propiedad de sus rectas tangentes.

Desde el punto $(x, y)$ hasta el eje $y$ el avance horizontal es $x$ y la subida vertical a lo largo de la tangente es $|y'| \cdot x = \sqrt{1-x^2}$, de modo que el segmento de tangente tiene longitud constante.

Que la cuerda conserve su longitud, y que apunte siempre en la dirección del movimiento, es exactamente lo que esta fórmula recoge.

Monotonía y concavidad

Como $y' < 0$ en $0 < x < 1$, la curva decrece en todo el intervalo. En $x = 1$ se tiene $y' = 0$, así que entra en $(1, 0)$ tangente al eje $x$. La segunda derivada $y'' = \dfrac{1}{x^2\sqrt{1-x^2}}$ es siempre positiva, lo que hace la curva cóncava hacia arriba y sin punto de inflexión.

Longitud infinita, volumen finito

La longitud de arco desde $(1, 0)$ hasta el punto de abscisa $x$ es $\ln\dfrac{1}{x}$, que diverge cuando $x \to 0$. La curva se acerca al eje $y$ tanto como se quiera, pero no lo alcanza nunca, y es infinitamente larga; sin embargo, la superficie y el sólido que engendra siguen siendo finitos.

La pseudoesfera

Girar la curva alrededor de su asíntota produce la superficie llamada pseudoesfera². Como $1 + (y')^2 = \dfrac{1}{x^2}$, el elemento de línea es $ds = \dfrac{dx}{x}$.

La pseudoesfera completa tiene la misma área que la esfera de radio $1$, y exactamente la mitad de su volumen.

Curvatura negativa y geometría no euclídea

La pseudoesfera tiene curvatura de Gauss igual a $-1$ en todos sus puntos. Donde la esfera tiene curvatura positiva constante, esta superficie tiene curvatura negativa constante, y a eso alude el prefijo. En $1868$ Beltrami mostró que en ella falla el postulado de las paralelas, de modo que la geometría no euclídea de Lobachevski se realiza localmente sobre esta superficie.

Historia

Perrault planteó la cuestión de qué curva describe un reloj de bolsillo arrastrado sobre una mesa por su cadena, y Newton y Huygens la resolvieron. El nombre tractriz se debe a Huygens, en $1692$.

1. Tractrix, Wikipedia
2. Pseudosphere, Wikipedia