Circunferencia que pasa por tres puntos

Hallemos la circunferencia que pasa por los tres puntos $(0, 0)$ , $(4, 0)$ y $(0, 2)$ . Por tres puntos que no estén sobre una misma recta pasa exactamente una circunferencia¹.

Con la forma general

Escribamos la circunferencia como $x^2 + y^2 + \ell x + m y + n = 0$ y sustituyamos cada punto.

Punto	Ecuación	Resultado
$(0, 0)$	$n = 0$	$n = 0$
$(4, 0)$	$16 + 4\ell = 0$	$\ell = -4$
$(0, 2)$	$4 + 2m = 0$	$m = -2$

Tres incógnitas y tres condiciones: justo lo necesario para fijar la circunferencia. Resulta $x^2 + y^2 - 4x - 2y = 0$ y, al completar el cuadrado, la forma canónica.

(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5

El centro es $(2, 1)$ y el radio es $\sqrt{5}$ .

Con las mediatrices

Un camino completamente distinto llega al mismo sitio. El centro tiene que equidistar de los tres puntos, y el conjunto de los puntos que equidistan de dos puntos dados es la mediatriz del segmento que los une.

Pareja de puntos	Mediatriz
$(0, 0)$ y $(4, 0)$	$x = 2$
$(0, 0)$ y $(0, 2)$	$y = 1$

Se cortan en el centro que ya habíamos hallado, y el radio es la distancia de ahí a $(0, 0)$ , es decir, $\sqrt{5}$ .

Por qué la circunferencia es única

El centro queda fijado como intersección de dos mediatrices y, una vez fijado el centro, también lo está el radio. Si los tres puntos están sobre una misma recta, esas mediatrices son paralelas y no se cortan nunca, y no hay circunferencia que pase por los tres. La tercera mediatriz pasa siempre por esa misma intersección, de modo que la condición de equidistar de los tres puntos es compatible.

La circunferencia circunscrita

La circunferencia es la circunferencia circunscrita del triángulo que tiene esos vértices, y su centro es el circuncentro. El hecho conocido de que el circuncentro de un triángulo es el punto de encuentro de las mediatrices de sus lados acaba de quedar confirmado en coordenadas.

Los puntos grandes señalan los tres puntos y el centro.

Circumcircle, Wikipedia