y = \dfrac{\sin x}{x}

Gráfica de la función sinc $y = \dfrac{\sin x}{x}$

$y = \dfrac{\sin x}{x}$ se conoce como función sinc, el seno dividido por $x$ ¹. Aquí se trata la forma sin normalizar.

Definición y singularidad

\operatorname{sinc} x = \frac{\sin x}{x}

A primera vista el denominador se anula en $x = 0$ , pero existe el límite siguiente.

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

Así que $x = 0$ es una singularidad evitable. Definir allí el valor como $1$ hace la gráfica continua, y pasa por el punto $(0, 1)$ .

Dominio, rango y simetría

Con el valor en $x = 0$ ya rellenado, el dominio es el conjunto de todos los números reales. Tanto $\sin x$ como $x$ son impares, así que su cociente es par y la gráfica es simétrica respecto del eje $y$ . El valor máximo es $1$ , alcanzado en $x = 0$ .

Ceros

La función se anula donde $\sin x = 0$ con $x \neq 0$ , es decir, en $x = n\pi$ con $n \neq 0$ . Nótese que $x = 0$ no es un cero, sino el punto donde se alcanza el máximo.

Decaimiento y envolvente

Como $|\sin x| \leq 1$ , se tiene $\left|\dfrac{\sin x}{x}\right| \leq \dfrac{1}{|x|}$ , así que la oscilación decae a lo largo de la envolvente $y = \pm\dfrac{1}{x}$ . Cuando $x \to \pm\infty$ los valores se acercan a $0$ , de modo que el eje $x$ es una asíntota horizontal.

Extremos

Los extremos están en las soluciones de $\tan x = x$ , y menguan a lo largo de la envolvente conforme $x$ se aleja del origen.

$x$	$\dfrac{\sin x}{x}$
$0$	$1$
$\approx 4.4934$	$\approx -0.2172$
$\approx 7.7253$	$\approx 0.1284$
$\approx 10.9041$	$\approx -0.0913$

El mínimo vale unos $-0.2172$ , así que los valores quedan siempre entre aproximadamente $-0.217$ y $1$ .

Integral

La primitiva no puede escribirse con funciones elementales, pero la integral hasta el infinito tiene forma cerrada².

\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx = \frac{\pi}{2}

Es la integral de Dirichlet. La integral de $\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|$ diverge, así que la convergencia es condicional: los vaivenes positivos y negativos se cancelan y dejan un valor finito.

Aplicaciones

La transformada de Fourier de un pulso rectangular
El núcleo de interpolación del teorema del muestreo, un filtro paso bajo ideal
El patrón de intensidad de la luz difractada por una sola rendija

La forma $\dfrac{\sin(\pi x)}{\pi x}$ se llama sinc normalizada, ajustada para que sus ceros caigan exactamente en los enteros. En el teorema del muestreo es la función de interpolación que reconstruye una señal continua a partir de muestras discretas³.

Sinc function, Wikipedia
Dirichlet integral, Wikipedia
Nyquist-Shannon sampling theorem, Wikipedia

Gráfica de la función sinc y=sin⁡xxy = \dfrac{\sin x}{x}y=xsinx​