y = \operatorname{arsech} x

La secante hiperbólica inversa $y = \operatorname{arsech} x$

$\operatorname{arsech} x$ , la secante hiperbólica inversa, es la inversa de $\operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x}$ ¹. Como $\operatorname{sech}$ es par, no es inyectiva en toda la recta, así que se restringe a $x \geq 0$ , donde el valor cae de forma monótona de $1$ a $0$ , y allí se toma la inversa.

Definición y forma cerrada

La ecuación $\operatorname{sech} y = x$ es la misma que $\cosh y = \dfrac{1}{x}$ , así que $\operatorname{arsech} x = \operatorname{arcosh}\dfrac{1}{x}$ . Escrita con un logaritmo toma la forma siguiente.

\operatorname{arsech} x = \ln\frac{1 + \sqrt{1-x^{2}}}{x}

Dominio y rango

El dominio es $0 < x \leq 1$
El rango es $y \geq 0$
Decrece de forma monótona
No es ni par ni impar

El rango de $\operatorname{sech}$ era $(0, 1]$ , y ese intervalo se ha convertido en el dominio de la inversa. En $x = 1$ el valor es $0$ y, cuando $x \to 0^{+}$ , se tiene $\ln\dfrac{2}{x} \to +\infty$ , así que el eje $y$ es una asíntota vertical.

Monotonía

La derivada es la siguiente.

\frac{d}{dx}\operatorname{arsech} x = -\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}

Es negativa en todo el dominio, así que la función decrece de forma monótona. Cuando $x \to 1^{-}$ el factor $\sqrt{1-x^{2}}$ tiende a $0$ y la derivada diverge, de modo que la tangente en $(1, 0)$ es vertical. La curva se yergue en su extremo derecho y se extiende hacia la izquierda a lo largo del eje $y$ .

Concavidad

La segunda derivada es $\dfrac{1-2x^{2}}{x^{2}(1-x^{2})^{3/2}}$ . El denominador es positivo, así que el signo lo da $1-2x^{2}$ , que cambia en $x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ . Ese único punto es el de inflexión, donde el valor es $\operatorname{arcosh}\sqrt{2} = \ln(1+\sqrt{2}) \approx 0.881$ . La curva es cóncava hacia arriba a su izquierda y cóncava hacia abajo a su derecha.

Valores destacados

$x$	$\operatorname{arsech} x$
$0.1$	$\approx 2.9932$
$0.5$	$\ln(2+\sqrt{3}) \approx 1.3170$
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\ln(1+\sqrt{2}) \approx 0.8814$
$1$	$0$

En qué se diferencia de las demás funciones hiperbólicas inversas

Función	Dominio
$\operatorname{arsinh} x$	todos los números reales
$\operatorname{arcosh} x$	$x \geq 1$
$\operatorname{artanh} x$	$-1 < x < 1$
$\operatorname{arsech} x$	$0 < x \leq 1$

Solo $\operatorname{arsech}$ se hace cargo de un intervalo acotado. Que $\operatorname{sech}$ fuera par y acotada se manifiesta, del lado de la inversa, como un dominio estrecho y una restricción de los valores al lado positivo.

Relación con la tractriz

La tractriz viene dada por la ecuación siguiente, cuyo primer término es exactamente esta función².

y = \ln\frac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x} - \sqrt{1-x^{2}} = \operatorname{arsech} x - \sqrt{1-x^{2}}

La trayectoria de un objeto arrastrado por una cuerda de longitud fija es la secante hiperbólica inversa a la que se le resta una semicircunferencia. Junto con el hecho de que la pseudoesfera, que se obtiene girando la tractriz, tiene curvatura negativa constante, esta función asoma también del lado de la geometría no euclídea.

Inverse hyperbolic functions, Wikipedia
Tractrix, Wikipedia

La secante hiperbólica inversa y=arsech⁡xy = \operatorname{arsech} xy=arsechx