Gráfica de la función raíz quinta $y = \sqrt[5]{x}$

$y = \sqrt[5]{x}$ devuelve el número cuya quinta potencia es $x$¹. Como $5$ es impar, también existe valor para argumentos negativos, así que el dominio es toda la recta real. Las raíces de índice par, en cambio, solo están definidas para $x \geq 0$.

Dominio y simetría

• Tanto el dominio como el rango son el conjunto de todos los números reales
• La función crece de forma monótona
• Es una función impar
• La tangente en el origen es vertical

Un número negativo tiene raíz quinta real porque multiplicar cinco veces un número negativo deja el signo negativo, que es justo lo que falla para una raíz cuarta o una raíz cuadrada.

Puntos de muestra

Que $x$ tenga que llegar a $32$ para que el valor alcance $2$ es una medida muy gráfica de lo despacio que crece.

Monotonía

Escribiendo $y = x^{1/5}$, la derivada es $y' = \dfrac{1}{5}x^{-4/5}$. El denominador es positivo siempre que $x \neq 0$, así que la función crece en todas partes. Cuando $x \to 0$ resulta $y' \to +\infty$, de modo que la curva sube bruscamente al pasar por el origen y luego se aplana a ambos lados.

Concavidad

La segunda derivada es $y'' = -\dfrac{4}{25}x^{-9/5}$.

La derivada no está definida en el origen, pero la flexión sí que se invierte ahí, así que cuenta como punto de inflexión con tangente vertical.

Función inversa

Al despejar $x$ resulta $x = y^5$, así que la inversa es la quíntica $y = x^5$, y las dos gráficas son reflejos una de la otra respecto de la recta $y = x$. Donde $x^5$ se tumba cerca del origen y se dispara a lo lejos, la raíz quinta se yergue cerca del origen y se tumba a lo lejos, exactamente como debe hacerlo una imagen especular.

Comparación con otras raíces

Se encuentra con $\sqrt[3]{x}$ en $x = 0$ y en $x = \pm 1$.

En $x = 32$ se tiene $\sqrt[5]{32} = 2$ frente a $\sqrt[3]{32} \approx 3.175$. Las raíces de índice mayor aplanan aún más la gráfica y tienden, en el límite, a una recta horizontal de altura $1$ para $x > 0$. La raíz cuarta, por su parte, no puede dibujarse en absoluto para $x < 0$.

Aplicaciones

Abel y Ruffini demostraron que la ecuación quíntica general no puede resolverse con operaciones aritméticas y radicales²; sin embargo, el caso más simple, $x^5 = a$, se resuelve con un radical, y esta función proporciona esa solución.

En física, el radio de una onda expansiva se expresa en función de la energía, el tiempo y la densidad como sigue³.

Taylor usó célebremente esta ley de potencia un quinto para deducir la energía liberada en una prueba nuclear a partir únicamente de fotografías publicadas.

1. Nth root, Wikipedia
2. Abel-Ruffini theorem, Wikipedia
3. Blast wave, Wikipedia