y = \ln \Gamma(x)

Gráfica de la función log-gamma $y = \ln \Gamma(x)$

$y = \ln \Gamma(x)$ es la función log-gamma, el logaritmo de la función gamma. La función gamma extiende el factorial a los reales, pero crece con tanta violencia que resulta incómoda numéricamente, así que el logaritmo toma el papel protagonista tanto en la práctica como en la teoría. Para $x > 0$ se tiene $\Gamma(x) > 0$ , de modo que el logaritmo real está definido directamente.

Dominio y cortes con los ejes

La gráfica se dibuja sobre $x > 0$ . Se tiene $\ln \Gamma(x) = 0$ cuando $\Gamma(x) = 1$ , en los dos puntos $x = 1$ y $x = 2$ . Cuando $x \to 0^{+}$ se tiene $\Gamma(x) \to +\infty$ y por tanto $y \to +\infty$ , así que el eje $y$ es una asíntota vertical.

Monotonía y mínimo

La derivada es la función digamma $\psi(x)$ . Se anula en un solo punto, y ese es el mínimo.

Elemento	Valor
$x_0$ del mínimo	$\approx 1.46163$
$\ln \Gamma(x_0)$	$\approx -0.12149$
$\Gamma(x_0)$	$\approx 0.88560$

El valle queda entre los dos cortes $x = 1$ y $x = 2$ , y el rango es $y \geq -0.12149$ .

Convexidad logarítmica

La segunda derivada es la función trigamma, positiva en todo $x > 0$ .

\psi'(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(x+n)^2}

La función es, por tanto, convexa en todas partes y no tiene punto de inflexión. Que la función gamma sea logarítmicamente convexa no es un adorno. Añadir la convexidad logarítmica a $\Gamma(1) = 1$ y $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$ deja fijada la función únicamente como la gamma. Ese es el teorema de Bohr-Mollerup, el fundamento para decir que la extensión correcta del factorial es única¹.

La recurrencia

Tomar el logaritmo de $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$ convierte una multiplicación en una suma.

\ln \Gamma(x+1) = \ln x + \ln \Gamma(x)

Se lee diciendo que desplazar $x$ en $1$ eleva la gráfica en $\ln x$ . En los enteros, $\ln \Gamma(n+1) = \ln(n!)$ , así que la curva es el logaritmo del factorial unido con suavidad.

La fórmula de Stirling

Para $x$ grande se desarrolla así².

\ln \Gamma(x) = \left(x - \frac{1}{2}\right)\ln x - x + \frac{1}{2}\ln(2\pi) + \frac{1}{12x} - \cdots

La parte principal es $x\ln x - x$ . Probando con $x = 101$ , el valor verdadero $\ln \Gamma(101) = 363.739376$ se reproduce con seis decimales llevando el desarrollo solo hasta el término $\dfrac{1}{12x}$ .

Por qué tomar el logaritmo

$x$	$\Gamma(x)$	$\ln \Gamma(x)$
$101$	$\approx 9.33 \times 10^{157}$	$\approx 363.74$
$200$	$\approx 10^{372}$ , que desborda	$\approx 857.93$

La coma flotante de doble precisión llega como mucho a unos $10^{308}$ , así que $\Gamma(200) = 199!$ desborda. Su logaritmo, en cambio, no da problema alguno. Por eso las bibliotecas numéricas ofrecen una función log-gamma junto a la función gamma.

Aplicaciones

Un coeficiente binomial puede escribirse como sigue, de modo que se calcula para $n$ grande sin desbordamiento.

\ln \binom{n}{k} = \ln \Gamma(n+1) - \ln \Gamma(k+1) - \ln \Gamma(n-k+1)

En estadística la función aparece directamente en las log-verosimilitudes de las distribuciones gamma, beta y de Dirichlet.

Bohr-Mollerup theorem, Wikipedia
Stirling's approximation, Wikipedia

Gráfica de la función log-gamma y=ln⁡Γ(x)y = \ln \Gamma(x)y=lnΓ(x)