y = e^x

Gráfica de la función exponencial $y = e^x$

$y = e^x$ es la función exponencial de base $e = 2.71828\ldots$ , el número de Euler. Conocida como función exponencial natural, tiene una propiedad que ninguna otra función comparte: derivarla no la cambia.

Dominio y rango

El dominio es el conjunto de todos los números reales y el rango es $y > 0$ : el valor $e^x$ no es nunca cero ni negativo.

Invariante frente a la derivación

La derivada es la propia función.

y' = e^x

Es siempre positiva, así que la función crece de forma monótona, y la segunda derivada $y'' = e^x$ también lo es, de modo que la curva es convexa en todas partes. El valor en un punto es precisamente el ritmo de crecimiento en ese punto, así que cuanto mayor se hace, más deprisa sube. La única función que cumple $y' = y$ con $y(0) = 1$ es $e^x$ , propiedad que puede tomarse como su definición.

Asíntotas y límites

Cuando $x \to -\infty$ , $e^x \to 0$ , así que el eje $x$ , la recta $y = 0$ , es una asíntota horizontal, a la que se acerca por arriba porque los valores se mantienen positivos. Cuando $x \to +\infty$ la función diverge a $+\infty$ , y más deprisa que cualquier polinomio.

\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0

Esto vale para todo $n$ , por grande que sea.

Puntos destacados

La curva pasa por $(0, 1)$ , $(1, e) \approx (1, 2.718)$ y $(-1, e^{-1}) \approx (-1, 0.368)$ . En $(0, 1)$ la tangente es la recta $y = x + 1$ , de pendiente $1$ , y cerca del origen la curva casi coincide con ella.

Desarrollo en serie

La función puede escribirse como una serie infinita.

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots

Derivar cada término devuelve el término anterior, que es otra manera de ver por qué el conjunto no cambia al derivar.

Relación con otras funciones

Su inversa es el logaritmo natural $\ln x$ , y las dos gráficas son reflejos una de la otra respecto de la recta $y = x$ .

Relación	Fórmula
Cualquier exponencial	$a^x = e^{x \ln a}$
Coseno hiperbólico	$\cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$
Seno hiperbólico	$\sinh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$
Fórmula de Euler	$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

Toda exponencial no es más que $e^x$ estirada o comprimida horizontalmente. Extendida a argumentos imaginarios alcanza las funciones trigonométricas y enlaza así las dos familias.

Aplicaciones

Siempre que una magnitud cambia a un ritmo proporcional a su tamaño actual, es decir, siempre que $y' = ky$ , la solución es $y = Ce^{kx}$ . Con $k > 0$ describe el crecimiento de una población o el interés compuesto; con $k < 0$ describe la desintegración radiactiva, el enfriamiento de un cuerpo caliente por la ley de enfriamiento de Newton y la descarga de un condensador. Es la primera función a la que acudir siempre que la naturaleza crece o decae.

Gráfica de la función exponencial y=exy = e^xy=ex