Rectas paralelas y perpendiculares

Comparar las pendientes de dos rectas dice si son paralelas o perpendiculares¹.

Pendientes	Relación
$m_1 = m_2$	paralelas
$m_1 m_2 = -1$	perpendiculares

Rectas paralelas

Dos rectas con pendientes iguales son paralelas y no se cortan nunca. Por ejemplo, $y = 2x - 1$ e $y = 2x + 3$ tienen ambas pendiente $2$ : suben al mismo ritmo a medida que $x$ crece, de modo que se mantienen a una distancia fija y jamás se encuentran. De hecho, al plantear $2x - 1 = 2x + 3$ queda $-1 = 3$ , que ningún $x$ cumple, así que no hay solución.

Rectas perpendiculares

Dos rectas cuyas pendientes multiplicadas dan $-1$ se cortan en ángulo recto. Si $m$ es la pendiente perpendicular a una recta de pendiente $2$ , entonces $2m = -1$ , es decir, $m = -\dfrac{1}{2}$ . La recta de pendiente $-\dfrac{1}{2}$ que pasa por $(1, 1)$ es $y = \dfrac{3 - x}{2}$ , y corta ahí a $y = 2x - 1$ formando un ángulo recto.

Por qué el producto es $-1$

Una recta de pendiente $m$ sube $m$ por cada paso de $1$ hacia la derecha, de modo que apunta en la dirección $(1, m)$ ; una recta de pendiente $m'$ apunta en la dirección $(1, m')$ . Dos direcciones son perpendiculares exactamente cuando su producto escalar se anula.

1 \cdot 1 + m \cdot m' = 0 \quad \Longrightarrow \quad m m' = -1

El caso que escapa al criterio

Un par escapa a esta regla: una recta horizontal $y = c$ y una vertical $x = c$ . Es evidente que se cortan en ángulo recto, pero $x = c$ no tiene pendiente alguna, así que no puede formarse ningún producto. Siempre que la perpendicularidad se decida con pendientes, este caso hay que tratarlo aparte.

La separación entre dos paralelas

Tomando el punto $(0, -1)$ de $y = 2x - 1$ y aplicando la fórmula de la distancia de un punto a una recta con $2x - y + 3 = 0$ se obtiene lo siguiente.

\frac{|2 \cdot 0 - (-1) + 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{5}}

Como las rectas son paralelas, este valor es el mismo se mida donde se mida, y es la distancia entre ellas.

Aplicaciones

Trazar la perpendicular desde un punto a una recta
La mediatriz de un segmento
La tangente a una circunferencia, que es perpendicular al radio

La gráfica muestra dos rectas paralelas de pendiente $2$ y una recta perpendicular a ellas, con el punto grande en su cruce en ángulo recto.

Perpendicular, Wikipedia