y = \sqrt{x^2+1}

Una rama de hipérbola $y = \sqrt{x^2+1}$

$y = \sqrt{x^2+1}$ pone $x^2+1$ bajo una raíz cuadrada. Al elevar al cuadrado se obtiene la ecuación de una hipérbola¹.

y^2 - x^2 = 1

Como una raíz cuadrada no es negativa, esta función representa la rama superior de esa hipérbola.

Dominio y rango

El dominio es el conjunto de todos los números reales
El rango es $y \geq 1$
Es una función par
El punto mínimo es $(0, 1)$

El radicando vale siempre al menos $1$ , así que la función está definida en todas partes y no baja nunca de $1$ .

Monotonía

La derivada es $f'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ , negativa para $x < 0$ y positiva para $x > 0$ . Por tanto, el punto más bajo es el mínimo, y la curva crece a ambos lados de él.

Asíntotas

Para $|x|$ grande se tiene $\sqrt{x^2+1} \approx |x|$ .

Dirección	Asíntota	Límite de $f'$
$x \to +\infty$	$y = x$	$1$
$x \to -\infty$	$y = -x$	$-1$

Estas son sus dos asíntotas oblicuas.

Concavidad

La segunda derivada $f''(x) = \dfrac{1}{(x^2+1)^{3/2}}$ es siempre positiva, así que la gráfica es cóncava hacia arriba en todas partes y no tiene puntos de inflexión.

Relación con las funciones hiperbólicas

Poniendo $x = \sinh t$ resulta $\sqrt{\sinh^2 t + 1} = \cosh t$ , así que la curva admite la parametrización $(\sinh t, \cosh t)$ , reflejo de la identidad $\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1$ .

Curva	Comportamiento para $x$ grande
$y = \sqrt{x^2+1}$	se acerca a la recta $y = x$
$y = \cosh x$	crece como $\dfrac{e^x}{2}$

Aunque se parece a la catenaria, es una curva distinta.

Aplicaciones

En relatividad, la relación entre energía y momento tiene exactamente esta forma.

E = \sqrt{(pc)^2 + (mc^2)^2}

La expresión $\sqrt{x^2 + \varepsilon}$ se usa además como aproximación suave que redondea el pico agudo de $|x|$ , algo valioso en optimización.

Hyperbola, Wikipedia

Una rama de hipérbola y=x2+1y = \sqrt{x^2+1}y=x2+1​