Gráfica de la función $y = e^x - x$

$y = e^x - x$ es una exponencial a la que se resta una función lineal. Que su valor mínimo sea exactamente $1$ es precisamente la desigualdad más básica sobre la función exponencial, $e^x \geq x + 1$.

Dominio y monotonía

El dominio es el conjunto de todos los números reales. La derivada es la siguiente.

Se anula cuando $e^x = 1$, es decir, en $x = 0$. Es negativa para $x < 0$, donde $e^x < 1$, y positiva para $x > 0$, así que la función tiene un mínimo, local y absoluto, en $x = 0$, de valor $e^{0} - 0 = 1$.

Rango y la desigualdad fundamental

Como el mínimo es $1$, el rango es $y \geq 1$. Reescribirlo da lo siguiente, válido para todo $x$ real.

La igualdad se cumple solo en $x = 0$. La recta $y = x + 1$ es la tangente a $y = e^{x}$ en $x = 0$, así que la desigualdad es un caso del hecho de que una curva cóncava hacia arriba queda por encima de sus tangentes. La gráfica de $y = e^x - x$ puede leerse como la separación vertical entre esas dos.

Concavidad

La segunda derivada es $y'' = e^{x}$, siempre positiva, así que la curva es cóncava hacia arriba en todas partes y no tiene punto de inflexión. Esa convexidad es justamente la razón de que valga la desigualdad de la tangente.

Asíntotas

Cuando $x \to -\infty$ el término $e^{x}$ tiende a $0$ e $y$ se acerca a $-x$; en efecto, $y - (-x) = e^{x} \to 0$, así que la recta $y = -x$ es una asíntota oblicua. Cuando $x \to +\infty$, en cambio, $e^{x}$ aplasta a $x$ y la función diverge sin asíntota alguna. El resultado es una forma marcadamente asimétrica: pegada a una recta por la izquierda, disparada exponencialmente por la derecha.

Contar las soluciones de una ecuación

Como $y \geq 1 > 0$, no hay corte con el eje $x$, así que la ecuación $e^{x} = x$ no tiene solución real. De forma más general, el número de soluciones de $e^{x} = x + c$ es el número de intersecciones de esta gráfica con la recta horizontal $y = c$.

Consecuencias

Sustituir $x$ por $\ln t$ da una desigualdad sobre el logaritmo.

Acotar así un logaritmo por encima con una función lineal es el punto de partida de muchas demostraciones, entre ellas la relación entre las medias aritmética y geométrica y la desigualdad de Gibbs en teoría de la información. De todas las desigualdades sobre la función exponencial, $e^{x} \geq x + 1$ es la primera que hay que aprender.

Puntos de muestra

La curva pasa por $(0, 1)$, $(1, e - 1) \approx (1, 1.718)$, $(-1, e^{-1} + 1) \approx (-1, 1.368)$ y $(2, e^{2} - 2) \approx (2, 5.389)$.