Gráfica de la función $y = x e^{-x}$

$y = x e^{-x}$ es el producto del término lineal $x$ por la exponencial decreciente $e^{-x}$. Su dominio es el conjunto de todos los números reales y pasa por el origen $(0, 0)$; es positiva para $x > 0$ y negativa para $x < 0$.

Un tira y afloja entre crecimiento y decaimiento

El factor $x$ intenta crecer con $x$, mientras que $e^{-x}$ intenta empujar el valor hacia $0$. El resultado de ese tira y afloja es la forma característica que sube hasta una loma y después se acerca a $0$.

Monotonía y máximo

Por la regla del producto, la derivada es la siguiente.

Como $e^{-x} > 0$, el signo lo gobierna $1 - x$: la función crece para $x < 1$ y decrece para $x > 1$. Tiene, por tanto, un máximo en $x = 1$, de valor $e^{-1} = \dfrac{1}{e} \approx 0.368$.

Asíntota y punto de inflexión

Cuando $x \to +\infty$ el decaimiento exponencial vence al crecimiento lineal, así que la función se acerca a $0$ y el eje $x$ es una asíntota horizontal. Cuando $x \to -\infty$, con $x < 0$ y $e^{-x} \to +\infty$, diverge a $-\infty$. La segunda derivada $y'' = (x - 2)e^{-x}$ cambia de signo en $x = 2$, que es por tanto un punto de inflexión.

Pasada la loma, la curva se afila suavemente hacia $0$.

Una forma asimétrica

La curva no es simétrica: el lado izquierdo de la loma sube bruscamente desde el origen, mientras que el derecho se prolonga en una cola larga. El área bajo la parte con $x \geq 0$ es la siguiente.

Este es el valor $\Gamma(2) = 1! = 1$ de la función gamma, y muestra que $x^k e^{-x}$ se normaliza limpiamente hasta dar una densidad de probabilidad.

Aplicaciones

Este es el ejemplo más simple, el caso $k = 1$, de la forma $x^k e^{-x}$, y comparte esqueleto con las densidades de probabilidad de las distribuciones gamma y de Erlang. Se usa mucho para modelar fenómenos en los que un factor creciente compite con otro decreciente, como en la teoría de colas, el procesamiento de señales y las cadenas de desintegración radiactiva.