La recta que pasa por dos puntos

Por dos puntos distintos pasa exactamente una recta¹. Por un solo punto se pueden trazar infinitas rectas, pero en cuanto se fija un segundo punto la dirección queda determinada y sobrevive una sola. Aquí hallamos la recta que pasa por $A(1, 1)$ y $B(3, 5)$.

La pendiente

La pendiente mide cuánto aumenta $y$ mientras $x$ aumenta en $1$. Es la diferencia de las $y$ dividida entre la diferencia de las $x$.

Construcción de la ecuación

Si escribimos la recta como $y = 2x + b$ y sustituimos $A$, obtenemos $1 = 2 \cdot 1 + b$, de donde $b = -1$. La recta es, por tanto, $y = 2x - 1$.

Comprobémoslo con el otro punto, $B(3, 5)$: $2 \cdot 3 - 1 = 5$, así que la recta pasa por $B$. Si en lugar de $A$ sustituimos $B$ para hallar la ordenada al origen, sale el mismo $b = -1$; cualquiera de los dos puntos sirve.

Tres formas habituales

La forma punto-pendiente da la ecuación de inmediato, sin tener que calcular la ordenada al origen. En la forma de dos puntos, cada miembro mide la fracción del trayecto de $A$ a $B$ ya recorrida, verticalmente a la izquierda y horizontalmente a la derecha, y sobre la recta esas dos fracciones siempre coinciden. Las tres se reordenan hasta dar $y = 2x - 1$.

El caso vertical

Hay un caso que exige cuidado: $x_1 = x_2$. Si los dos puntos comparten la coordenada $x$, el denominador es $0$ y no hay pendiente. La recta que los une es vertical y no puede escribirse en absoluto como $y = mx + b$; se escribe $x = x_1$. Una recta paralela al eje $y$ sencillamente carece de pendiente.

Comprobar si tres puntos están alineados

La misma idea sirve para decidir si tres puntos están sobre una misma recta: si la pendiente de $A$ a $B$ es igual a la de $A$ a $C$, los tres puntos están alineados. Esta rutina, obtener la pendiente a partir de dos puntos y construir después la ecuación por uno de ellos, es también la base de los problemas de intersección.

Los puntos grandes de la gráfica son $A$ y $B$.

1. Linear equation, Wikipedia