Posición de un punto respecto de una circunferencia

Si un punto está dentro de una circunferencia, sobre ella o fuera se averigua sustituyendo sus coordenadas en la ecuación y comparando. Tomemos $x^2 + y^2 = 25$, con centro en el origen y radio $5$.

El criterio

El cuadrado de la distancia de un punto al centro es $x^2 + y^2$. Comparémoslo con el cuadrado del radio.

Tres puntos

Por qué se comparan los cuadrados

Calcular la distancia misma lleva, desde luego, a la misma conclusión: $(1, 2)$ está a $\sqrt{5} \approx 2.24$ del centro, menos que el radio. Pero las distancias nunca son negativas, así que comparar sus cuadrados conserva el orden. Ahorrarse la raíz cuadrada es más rápido y evita el error de redondeo que introduciría, y por eso la comparación con cuadrados es la habitual. Las comprobaciones de colisión con cajas circulares en los videojuegos se escriben exactamente así.

Distancia hasta la propia circunferencia

El punto exterior $(4, 4)$ está a $\sqrt{32} \approx 5.66$ del centro.

La recta que une el punto con el centro atraviesa la circunferencia exactamente por su punto más cercano y por el más lejano.

La circunferencia general

Para una circunferencia de centro $(a, b)$ y radio $r$, se compara $(x - a)^2 + (y - b)^2$ con $r^2$. El signo del primer miembro menos el segundo da la posición directamente: negativo en el interior, cero sobre la curva, positivo en el exterior.

De una curva a una región

Este criterio ilustra además cómo una inecuación describe una región. La inecuación $x^2 + y^2 < 25$ describe el interior de la circunferencia, un trozo del plano en lugar de una curva. Una ecuación da una curva; convertirla en inecuación da un área. Es la misma relación que hay entre la recta $ax + by + c = 0$ y el semiplano $ax + by + c > 0$.

Los puntos grandes de la gráfica son el punto interior, el que está sobre la circunferencia y el exterior.