Gráfica de la función $y = x \sin x$

$y = x \sin x$ es el producto de la función lineal $x$ por el seno $\sin x$. Dibuja una gráfica muy característica que oscila con un vaivén que no deja de crecer.

Dominio y simetría

El dominio es el conjunto de todos los números reales. Tanto $x$ como $\sin x$ son impares, así que su producto es par.

La gráfica es, por tanto, simétrica respecto del eje $y$.

La envolvente

Como $-1 \leq \sin x \leq 1$, se tiene $|x \sin x| \leq |x|$, así que la gráfica queda atrapada entre las dos rectas $y = x$ e $y = -x$. Esas rectas son su envolvente.

La curva toca la envolvente en $x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$, donde $|\sin x| = 1$, y su vaivén crece en proporción a $|x|$. A diferencia de una función trigonométrica corriente, no tiene amplitud fija.

Ceros

El valor es $0$ donde $x = 0$ o $\sin x = 0$, es decir, en $x = n\pi$. En $x = 0$ coinciden los ceros de $x$ y de $\sin x$, así que esa raíz es doble.

Cerca del origen

Cerca del origen $\sin x \approx x$, de modo que se cumple lo siguiente.

La curva llega al eje $x$ desde arriba como una parábola, así que el origen es un mínimo local de valor $0$, y en sus alrededores la función se mantiene con $y \geq 0$.

Monotonía

La regla del producto da la derivada.

Sus ceros localizan los máximos y mínimos locales. Para $x$ grande domina el término $x\cos x$, así que esos extremos se desplazan hacia los puntos donde $\cos x = 0$, que son exactamente aquellos en los que la curva toca la envolvente.

Valores destacados

Rango y límites

Como el vaivén crece sin límite, $y$ toma valores positivos y negativos arbitrariamente grandes, de modo que el rango es el conjunto de todos los números reales. Cuando $x \to \pm\infty$ no converge, sino que sigue oscilando cada vez más ampliamente.

Aplicaciones

La forma $x \sin x$ aparece cuando la amplitud de un sistema en resonancia crece con el tiempo, y en el análisis de las pulsaciones y de la modulación de amplitud. Cuando una frecuencia de excitación coincide con la frecuencia propia de un sistema, la amplitud de la respuesta crece en proporción al tiempo¹.

1. Resonance, Wikipedia