Traslación de una parábola

Trasladamos la parábola $y = x^2$ en $2$ según el eje $x$ y en $1$ según el eje $y$. Al cambiar $x$ por $x - 2$ y sumar $1$ se obtiene $y = (x - 2)^2 + 1$.

Por qué mover a la derecha significa restar

Lo desconcertante es que mover $+2$ hacia la derecha exija restar $2$ dentro de la fórmula. Sea $(x, y)$ un punto de la gráfica trasladada. Procede de un punto de la gráfica original movido $2$ a la derecha y $1$ hacia arriba, así que el punto original era $(x - 2,\ y - 1)$. Ese punto está sobre $y = x^2$.

Restar dentro de la fórmula no es más que deshacer el movimiento: devuelve las coordenadas nuevas a las antiguas.

Forma canónica

En general, desplazar $y = x^2$ en $p$ horizontalmente y en $q$ verticalmente da $y = (x - p)^2 + q$, y el vértice pasa del origen a $(p, q)$. Esta es la llamada forma canónica, y su virtud es que el vértice se lee de inmediato. Los desplazamientos horizontal y vertical son independientes, y aplicarlos en un orden o en el otro da el mismo resultado.

La forma no cambia

Una traslación no cambia la forma de la parábola. El coeficiente de $x^2$ sigue siendo $1$, así que la abertura y la orientación quedan intactas; solo cambia la posición, y la figura es congruente con la de partida.

Cualquier cuadrática en forma general puede llevarse a la forma canónica completando el cuadrado, lo que revela exactamente cuánto se ha movido $y = x^2$ y, cuando el coeficiente principal no es $1$, cuánto se ha estirado además verticalmente.

La misma regla para toda función

La regla no es propia de las parábolas. Para cualquier función, $y = f(x - p) + q$ es la gráfica desplazada $p$ a la derecha y $q$ hacia arriba.

• Las circunferencias
• Las curvas del seno
• La V del valor absoluto

Todas se trasladan con exactamente la misma receta. Aquí el vértice pasa del origen a $(2, 1)$; los puntos grandes señalan los dos vértices.