Intersección de una función cuadrática y el eje x

Los puntos donde la gráfica de una función cuadrática se encuentra con el eje $x$ son los puntos con $y = 0$. Allí el valor de la función es $0$, así que sus coordenadas $x$ se obtienen resolviendo una ecuación de segundo grado¹. Tomemos $y = x^2 - x - 6$.

Factorización

Las intersecciones están donde $x^2 - x - 6 = 0$. El primer miembro se factoriza como $(x - 3)(x + 2)$, de modo que $x = 3$ o $x = -2$, y los puntos de intersección son $(3, 0)$ y $(-2, 0)$.

La fórmula cuadrática

Cuando la expresión no se factoriza, la fórmula hace el trabajo.

Así pues, las coordenadas $x$ en las que una parábola corta al eje $x$ son exactamente las soluciones de $ax^2 + bx + c = 0$. El número de intersecciones es igual al número de soluciones, que decide el signo del discriminante $D = b^2 - 4ac$, precisamente la cantidad que va bajo la raíz.

Aquí $D = 1 + 24 = 25 > 0$, así que hay dos intersecciones.

Comprobación con los coeficientes

Para $ax^2 + bx + c = 0$, la suma de las raíces es $-\dfrac{b}{a}$ y su producto es $\dfrac{c}{a}$².

El eje y el vértice

Conocer las dos intersecciones fija casi por completo la forma de la parábola. El eje pasa justo por el punto medio entre ellas, en $\dfrac{3 + (-2)}{2} = \dfrac{1}{2}$, lo que concuerda con la fórmula del vértice $-\dfrac{b}{2a}$. Como una parábola es simétrica respecto de su eje, los dos puntos en los que corta al eje $x$ han de estar a la misma distancia de él. Sustituyendo se obtiene el vértice $\left(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{25}{4}\right)$.

Una parábola abierta hacia arriba cuyo vértice queda por debajo del eje $x$, y una parábola que corta al eje dos veces, son dos descripciones del mismo hecho.

Dónde cambia el signo

Por eso resolver una inecuación de segundo grado empieza por hallar estos puntos: son las fronteras del signo. Los puntos grandes de la gráfica son esos dos puntos.

1. Quadratic equation, Wikipedia
2. Vieta's formulas, Wikipedia