El hexágono regular

Un hexágono con todos los lados y todos los ángulos interiores iguales es un hexágono regular¹. Examinamos el que está centrado en el origen con radio de la circunferencia circunscrita $4$ . Sus vértices son $(4, 0)$ , $(2, 2\sqrt{3})$ , $(-2, 2\sqrt{3})$ , $(-4, 0)$ , $(-2, -2\sqrt{3})$ y $(2, -2\sqrt{3})$ .

Ángulos interiores

Los ángulos interiores suman $(6 - 2) \times 180^\circ = 720^\circ$ , así que cada uno vale $120^\circ$ .

Se parte en seis triángulos equiláteros

Unir el centro con los seis vértices corta el hexágono en seis triángulos. Los ángulos alrededor del centro valen $\dfrac{360^\circ}{6} = 60^\circ$ cada uno, y los otros dos lados son ambos radios, así que todos esos triángulos son equiláteros.

La longitud del lado es, por tanto, igual al radio de la circunferencia circunscrita, aquí $4$ . Calcular la distancia entre dos vértices contiguos lo confirma: $\sqrt{(4 - 2)^2 + (0 - 2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16} = 4$ .

Área

Un triángulo equilátero de lado $a$ tiene área $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$ , y hay seis de ellos.

S = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 16 = 24\sqrt{3}

Eso es aproximadamente $41.57$ .

Las magnitudes principales

Magnitud	Fórmula	Valor
Lado	$a = R$	$4$
Apotema	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$	$2\sqrt{3} \approx 3.46$
Perímetro	$6a$	$24$
Área	$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2$	$24\sqrt{3} \approx 41.57$

La distancia del centro a un lado es $2\sqrt{3}$ , la altura de uno de los triángulos equiláteros. Por eso los lados superior e inferior están sobre las rectas horizontales $y = \pm 2\sqrt{3}$ . Esa misma distancia es el radio de la circunferencia inscrita.

Perímetro frente a longitud de la circunferencia

La longitud de la circunferencia circunscrita es $2\pi \times 4 = 25.13$ , así que el perímetro del hexágono es alrededor del $95$ por ciento de ella. Aproximar $\pi$ con el perímetro de un polígono regular consiste en cerrar esa diferencia tomando cada vez más lados.

Diagonales

Cómo unen	Ejemplo	Longitud
Saltando un vértice	$(4, 0)$ y $(-2, 2\sqrt{3})$	$4\sqrt{3}$
Vértices opuestos	$(4, 0)$ y $(-4, 0)$	$8$

Esta última es el diámetro de la circunferencia circunscrita.

Teselar el plano

Junto con el triángulo equilátero y el cuadrado, el hexágono regular tesela el plano sin dejar huecos. De esos tres es el que necesita menos perímetro para encerrar un área dada, y por eso un panal adopta esta forma².

Las seis rectas de la gráfica son los seis lados, los dos arcos son la circunferencia circunscrita, y los puntos grandes son los seis vértices junto con el centro.

Hexagon, Wikipedia
Honeycomb conjecture, Wikipedia