y = \dfrac{x}{\ln x}

Gráfica de la función $y = \dfrac{x}{\ln x}$

$y = \dfrac{x}{\ln x}$ es conocida como la expresión que recoge cómo se van espaciando los números primos. El teorema de los números primos afirma que $\pi(x)$ , el número de primos que no superan $x$ , crece al mismo ritmo que esta función.

Dominio y signo

El logaritmo ha de estar definido y no ser nulo, así que el dominio es $x > 0$ con $x \neq 1$ . En $0 < x < 1$ se tiene $\ln x < 0$ y por tanto $y < 0$ , mientras que $y > 0$ para $x > 1$ .

Asíntota y comportamiento en los extremos

La recta $x = 1$ es una asíntota vertical, a la que se acerca hacia $-\infty$ por la izquierda y hacia $+\infty$ por la derecha. Cuando $x \to 0^{+}$ el numerador tiende a $0$ y el denominador a $-\infty$ , así que $y \to 0^{-}$ y la curva entra en el origen por debajo. Cuando $x \to \infty$ el factor $x$ aplasta a $\ln x$ y la función diverge, de modo que por la derecha no hay asíntota.

Monotonía y extremos

La regla del cociente da la derivada.

y' = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}

El denominador es positivo, así que el signo es el de $\ln x - 1$ : negativo para $x < e$ y positivo para $x > e$ . Hay, por tanto, un mínimo local en $x = e$ , de valor $e$ , de modo que el punto mínimo $(e, e)$ tiene las dos coordenadas iguales.

Rango

La rama de $0 < x < 1$ cae sin pausa desde $0^{-}$ cerca del origen hasta $-\infty$ , lo que da $y < 0$ , mientras que la rama de $x > 1$ tiene mínimo $e$ , lo que da $y \geq e$ . Ningún valor de $0 \leq y < e$ se alcanza. Este es exactamente el rango de $y = \dfrac{e^{x}}{x}$ , una coincidencia divertida: intercambiar logaritmo y exponencial deja la misma estructura.

Concavidad

La segunda derivada es $y'' = \dfrac{2 - \ln x}{x(\ln x)^3}$ .

Intervalo	Numerador	Denominador	Concavidad
$0 < x < 1$	positivo	negativo	cóncava hacia abajo
$1 < x < e^{2}$	positivo	positivo	cóncava hacia arriba
$x > e^{2}$	negativo	positivo	cóncava hacia abajo

Hay, pues, un único punto de inflexión, en $x = e^{2} \approx 7.389$ , donde el valor es $\dfrac{e^{2}}{2} \approx 3.695$ .

El teorema de los números primos

Escribiendo $\pi(x)$ para el número de primos hasta $x$ , el teorema de los números primos dice que el cociente de ambos tiende a $1$ .

\pi(x) \sim \frac{x}{\ln x}

Intuitivamente, la densidad de primos cerca de $x$ es de aproximadamente $\dfrac{1}{\ln x}$ , así que dos primos consecutivos están separados en promedio por unos $\ln x$ . La convergencia es lenta, sin embargo, y los valores se aproximan solo poco a poco.

$x$	$\pi(x)$	$\dfrac{x}{\ln x}$	Cociente
$10^{6}$	$78498$	$72382$	$1.085$
$10^{7}$	$664579$	$620421$	$1.071$

Una aproximación mejor

El error se reduce de forma espectacular con la integral logarítmica.

\operatorname{li}(x) = \int_2^{x}\frac{dt}{\ln t}

Aquí $\operatorname{li}(10^{6}) \approx 78628$ , a solo unos $130$ del valor verdadero. Sustituir $t = e^{u}$ convierte esa integral en $\int \dfrac{e^{u}}{u}\,du$ , la integral exponencial. La función $\dfrac{x}{\ln x}$ es el término principal del desarrollo asintótico de $\operatorname{li}(x)$ , y la hipótesis de Riemann es una afirmación sobre lo pequeña que puede llegar a ser la diferencia entre $\operatorname{li}(x)$ y $\pi(x)$ .

Gráfica de la función y=xln⁡xy = \dfrac{x}{\ln x}y=lnxx​