y = 2^x

Gráfica de la función exponencial $y = 2^x$

$y = 2^x$ es la función exponencial de base $2$ : su valor se duplica cada vez que $x$ aumenta en $1$ , lo que la convierte en el arquetipo de la duplicación repetida.

Dominio y rango

El dominio es el conjunto de todos los números reales. Como $2^x$ no es nunca cero ni negativo, el rango es $y > 0$ . Los exponentes negativos dan sencillamente valores positivos pequeños, como $2^{-1} = \dfrac{1}{2}$ y $2^{-2} = \dfrac{1}{4}$ .

Monotonía

La derivada es la siguiente.

y' = 2^x \ln 2

Aquí $\ln 2 \approx 0.693$ es una constante positiva y $2^x > 0$ , así que $y'$ es siempre positiva y la función crece de forma monótona. La segunda derivada $y'' = 2^x (\ln 2)^2$ también es positiva, de modo que la curva es convexa en todo su recorrido: cuanto más crece, más deprisa crece.

Asíntotas y límites

Cuando $x \to -\infty$ , $2^x \to 0$ , así que el eje $x$ , la recta $y = 0$ , es una asíntota horizontal. Los valores se mantienen positivos, de modo que la curva se le acerca por arriba. Cuando $x \to +\infty$ la función diverge a $+\infty$ .

Duplicación repetida

Como $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$ , cada paso unidad en $x$ multiplica el valor exactamente por $2$ .

$x$	$2^x$
$-2$	$0.25$
$0$	$1$
$1$	$2$
$5$	$32$
$10$	$1024$
$20$	$1048576$

Diez pasos multiplican el valor por $2^{10} = 1024$ , unas mil veces. Modesta al principio, acaba superando a todo polinomio: para $x$ suficientemente grande, $2^x$ adelanta incluso a $x^{100}$ .

Puntos destacados

La curva pasa por $(0, 1)$ , $(1, 2)$ , $(2, 4)$ y $\left( -1, \dfrac{1}{2} \right)$ . Como $a^0 = 1$ , toda función exponencial pasa por $(0, 1)$ sea cual sea su base.

Cómo cambia la curva con la base

La inversa es $\log_2 x$ . Escribir $2^x = e^{x \ln 2}$ muestra que es $y = e^x$ comprimida horizontalmente.

Base	Comportamiento	Ejemplo
$a > 1$	crece de forma monótona	$y = 2^x$
$a = 1$	constantemente $1$	$y = 1^x$
$0 < a < 1$	decrece de forma monótona	$y = \left( \dfrac{1}{2} \right)^x$

En efecto, $\left( \dfrac{1}{2} \right)^x = 2^{-x}$ es esta gráfica reflejada respecto del eje $y$ , una curva decreciente.

Aplicaciones

Modela cualquier cosa que se duplique.

Una célula se divide en dos, así que tras $n$ divisiones hay $2^n$ células
En binario, $n$ bits representan $2^n$ valores distintos
Los procesos que se reducen a la mitad, como la desintegración radiactiva, se escriben $2^{-t/T}$

La esencia del crecimiento exponencial es que el tiempo que tarda en duplicarse no cambia, por grande que sea ya la cantidad.

Gráfica de la función exponencial y=2xy = 2^xy=2x