y = e^{-x^2}

La función gaussiana $y = e^{-x^2}$

$y = e^{-x^2}$ sustituye $u = -x^2$ en el exponente de $e^u$ y traza una campana simétrica. Como núcleo de la distribución normal en estadística es una de las funciones más importantes que existen, y aparece por toda la probabilidad y la estadística y más allá, en la física y el procesamiento de señales.

Dominio y rango

Está definida para todo $x$ real. Como $-x^2 \le 0$ , se tiene $0 < e^{-x^2} \le 1$ , así que el rango es $(0, 1]$ .

El dominio es el conjunto de todos los números reales
El rango es $(0, 1]$
El máximo es $1$ , en $x = 0$
No hay mínimo; la cota inferior $0$ no se alcanza nunca

Cuanto más se aleja $x$ del origen, menor es el valor, pero la exponencial solo toma valores positivos, así que no llega a ser cero.

Simetría

Como $f(-x) = e^{-(-x)^2} = e^{-x^2} = f(x)$ , la función es par y su gráfica es simétrica respecto del eje $y$ . Hace pareja con $y = xe^{-x^2}$ , que lleva el mismo exponente y es impar, simétrica respecto del origen.

Monotonía y extremo

La regla de la cadena da la derivada.

\begin{align*} f'(x) &= e^{-x^2} \cdot \frac{d}{dx}(-x^2) \\ &= -2x\,e^{-x^2} \end{align*}

Como $e^{-x^2} > 0$ , el signo lo decide únicamente $-2x$ : la función crece para $x < 0$ y decrece para $x > 0$ . Alcanza, por tanto, su máximo en la cima $(0, 1)$ , y no hay mínimo local.

Puntos de inflexión

La regla del producto da la segunda derivada.

f''(x) = (4x^2 - 2)\,e^{-x^2}

Se anula en $x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx \pm 0.707$ , donde el valor es $y = e^{-1/2} \approx 0.607$ . Esos son los hombros de la campana, donde la curva pasa de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba.

Lo deprisa que decae

Cuando $x \to \pm\infty$ se tiene $-x^2 \to -\infty$ y por tanto $e^{-x^2} \to 0$ , así que el eje $x$ , la recta $y = 0$ , es una asíntota horizontal. Como el exponente lleva un cuadrado, el decaimiento es mucho más rápido que el de $e^{-x}$ .

$x$	$y = e^{-x^2}$
$0$	$1$
$0.5$	$0.7788$
$1$	$0.3679$
$1.5$	$0.1054$
$2$	$0.0183$
$3$	$0.0001234$

Anchura total a media altura

Una medida habitual de la anchura de la campana es aquella en la que el valor cae a la mitad de su máximo, la anchura total a media altura. Resolver $e^{-x^2} = \dfrac{1}{2}$ da $x = \pm\sqrt{\ln 2}$ , así que la anchura es la siguiente.

2\sqrt{\ln 2} \approx 1.6651

La integral gaussiana

Aunque no tiene primitiva elemental, la integral en toda la recta tiene forma cerrada¹.

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}

La demostración habitual la eleva al cuadrado y lleva la integral doble resultante a coordenadas polares.

\begin{align*} I^2 &= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2 + y^2)}\,dx\,dy \\ &= \int_0^{2\pi} \int_0^{\infty} e^{-r^2} r\,dr\,d\theta \\ &= 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi \end{align*}

Como $I > 0$ resulta $I = \sqrt{\pi}$ . La versión con coeficiente, $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}\,dx = \sqrt{\dfrac{\pi}{a}}$ para $a > 0$ , se obtiene igual.

La primitiva y la función error

La integral indefinida no puede escribirse con funciones elementales, así que se define la función error como sigue³.

\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2}\,dt

Con ella la primitiva toma esta forma.

\int e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(x) + C

Relación con la distribución normal

La densidad de la distribución normal estándar tiene la forma siguiente.

\varphi(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2}

Poner $t = \sqrt{2}\,x$ convierte $e^{-t^2/2}$ en $e^{-x^2}$ . La densidad es, pues, la función gaussiana estirada horizontalmente en un factor $\sqrt{2}$ y normalizada para que el área total sea $1$ ².

Magnitud	Función gaussiana	Normal estándar
Fórmula	$e^{-x^2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}$
Máximo	$1$	$\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0.3989$
Posición de los puntos de inflexión	$\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\pm 1$
Área total	$\sqrt{\pi}$	$1$

Momentos

Al ser par, todos sus momentos impares se anulan. Los pares vienen dados por una fórmula con el doble factorial.

\int_{-\infty}^{\infty} x^{2n} e^{-x^2}\,dx = \frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}

$n = 1$	$\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$
$n = 2$	$\dfrac{3\sqrt{\pi}}{4}$
$n = 3$	$\dfrac{15\sqrt{\pi}}{8}$

Transformada de Fourier

La transformada de Fourier de una gaussiana es de nuevo una gaussiana.

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} e^{-ikx}\,dx = \sqrt{\pi}\,e^{-k^2/4}

Cuanto más estrecha es la original, más ancha es la transformada. Ese compromiso reaparece allí donde anchura y dispersión no pueden ser pequeñas a la vez, desde el principio de incertidumbre de la mecánica cuántica hasta las ventanas del procesamiento de señales.

La ecuación del calor

La solución fundamental de la ecuación del calor $u_t = u_{xx}$ es también una gaussiana.

u(x, t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\,e^{-x^2/(4t)}

Cuando $t \to 0^{+}$ se concentra en el origen y, a medida que pasa el tiempo, se ensancha y se aplana. Que el calor depositado en un solo punto se difunda es exactamente el ensanchamiento de la campana.

Desarrollo de Taylor

Sustituir $u = -x^2$ en la serie de $e^{u}$ da un desarrollo que converge para todo número real.

e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}

Que no aparezcan potencias impares es como se manifiesta la paridad del lado de la serie.

Cálculo numérico

Como la primitiva no es elemental, el área sobre un intervalo concreto se halla por integración numérica. Calcular el intervalo $[0, 3]$ con la regla del trapecio se hace así.

function gaussian(x: number): number {
	return Math.exp(-x * x)
}

function trapezoid(from: number, to: number, count: number): number {
	const step = (to - from) / count

	let total = (gaussian(from) + gaussian(to)) / 2

	for (let index = 1; index < count; index++) {
		total += gaussian(from + index * step)
	}

	return total * step
}

El resultado es $0.8862$ , que coincide casi exactamente con $\dfrac{\sqrt{\pi}}{2} \approx 0.8862$ , porque la contribución más allá de $x = 3$ es ya despreciable.

Historia

En Theoria Motus, de 1809, Gauss dedujo la forma siguiente como la distribución más probable del error de observación.
$\varphi(\Delta) = \frac{h}{\sqrt{\pi}}\,e^{-h^2\Delta^2}$

De Moivre llegó a la curva como aproximación de la distribución binomial, y Gauss y Laplace la establecieron como la distribución del error². La visión de ella como la curva que está en el centro de la teoría de errores quedó fijada a partir de ahí.

Aplicaciones

La distribución del error de medida, es decir, la distribución normal
La solución fundamental de la ecuación del calor
El desenfoque en el procesamiento de imágenes, el filtro gaussiano
El núcleo RBF de los métodos de núcleo del aprendizaje automático
El estado fundamental del oscilador armónico en mecánica cuántica

Gaussian integral, Wikipedia
Normal distribution, Wikipedia
Error Functions, Dawson's and Fresnel Integrals, NIST Digital Library of Mathematical Functions

La función gaussiana y=e−x2y = e^{-x^2}y=e−x2