y = \operatorname{sech}^2 x

Gráfica de la función $y = \operatorname{sech}^2 x$

$y = \operatorname{sech}^2 x$ es la secante hiperbólica al cuadrado. Como la derivada de $\tanh x$ es exactamente esta, aparece por todas partes como la campana que surge al derivar una sigmoide.

Dominio y rango

El dominio es el conjunto de todos los números reales
El rango es $0 < y \leq 1$
El máximo $1$ se alcanza en $x = 0$
Es una función par

De $\cosh x \geq 1$ se sigue $0 < \operatorname{sech} x \leq 1$ , y elevar al cuadrado mantiene los valores en el mismo rango.

La derivada de la tangente hiperbólica

Derivar $\tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x}$ con la regla del cociente produce esta función.

\begin{align*} \frac{d}{dx}\tanh x &= \frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x} \\ &= \frac{1}{\cosh^2 x} = \operatorname{sech}^2 x \end{align*}

Así que esta función es la propia pendiente de $\tanh x$ . El modo en que $\tanh$ sube más bruscamente cerca del origen y se aplana en los dos extremos aparece aquí directamente como la forma de la loma.

Monotonía y extremo

La derivada es $y' = -2\operatorname{sech}^2 x \tanh x$ . Como $\operatorname{sech}^2 x$ es positiva, el signo lo da $-\tanh x$ : la función crece para $x < 0$ y decrece para $x > 0$ . El máximo, local y absoluto, está en $(0, 1)$ .

Puntos de inflexión

Usando $\operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x$ , la segunda derivada puede escribirse así.

y'' = (6\tanh^2 x - 2)\operatorname{sech}^2 x

El signo cambia cuando $\tanh^2 x = \dfrac{1}{3}$ , es decir, en $x = \pm\operatorname{artanh}\dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx \pm 0.658$ . El valor allí es $1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$ , una fracción muy limpia para la altura de un punto de inflexión. La curva es cóncava hacia abajo entre ellos y cóncava hacia arriba fuera.

$x$	$y$	Posición
$0$	$1$	máximo
$\approx \pm 0.658$	$\dfrac{2}{3}$	punto de inflexión
$\pm 1$	$\approx 0.4200$	la falda de la loma
$\pm 2$	$\approx 0.0707$	casi plana

Decaimiento

Para $|x|$ grande se tiene $\operatorname{sech} x \approx 2e^{-|x|}$ , así que el decaimiento es exponencial.

y \approx 4e^{-2|x|}

El eje $x$ es una asíntota horizontal. La caída no es tan brusca como la de una gaussiana, pero es lo bastante rápida.

Integral y densidad de probabilidad

La primitiva es el propio $\tanh x$ , así que la integral en toda la recta es la siguiente.

\int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{sech}^2 x\,dx = \tanh(\infty) - \tanh(-\infty) = 2

Por tanto, $\dfrac{1}{2}\operatorname{sech}^2 x$ es una densidad de probabilidad. En efecto, $\dfrac{1 + \tanh x}{2} = \dfrac{1}{1 + e^{-2x}}$ , así que es la densidad de la distribución cuya función de distribución es una función logística.

Solitones

La ecuación KdV, que describe las ondas en aguas poco profundas, tiene la solución de onda viajera siguiente¹.

u(x, t) = \frac{c}{2}\operatorname{sech}^2\frac{\sqrt{c}}{2}(x - ct)

Esta onda solitaria, que avanza a velocidad constante sin cambiar de forma, es un solitón, y su sección es exactamente esta gráfica. La fórmula muestra además que un solitón más rápido es más alto y más estrecho. Es la forma teórica de aquella onda que no cambiaba, observada por Russell en un canal en $1834$ .

Aplicaciones

En mecánica cuántica, un potencial de la forma $-\operatorname{sech}^2 x$ se resuelve exactamente y tiene la propiedad especial de no reflejar onda alguna. En aprendizaje automático, el gradiente de una red que use $\tanh$ como función de activación es justamente esta función, así que se ve con los ojos por qué el gradiente cae exponencialmente para entradas grandes, el fenómeno conocido como desvanecimiento del gradiente².

Soliton, Wikipedia
Vanishing gradient problem, Wikipedia

Gráfica de la función y=sech⁡2xy = \operatorname{sech}^2 xy=sech2x