y=arcsin⁡(sin⁡x)y = \arcsin(\sin x)

Gráfica de la onda triangular y=arcsin⁡(sin⁡x)y = \arcsin(\sin x)

y=arcsin⁡(sin⁡x)y = \arcsin(\sin x) aplica el seno y después el arcoseno1. Las dos son operaciones inversas, así que cabría esperar recuperar xx, pero el rango de arcsin⁡\arcsin se confina a [−π2,π2]\left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right], y lo que cae fuera queda plegado hacia dentro, lo que produce una onda triangular.

La fórmula por tramos

IntervaloFórmulaPendiente
−π2≤x≤π2-\dfrac{\pi}{2} \leq x \leq \dfrac{\pi}{2}y=xy = x11
π2≤x≤3π2\dfrac{\pi}{2} \leq x \leq \dfrac{3\pi}{2}y=π−xy = \pi - x−1-1

En el primer intervalo, sin⁡\sin y arcsin⁡\arcsin se cancelan exactamente. En el siguiente la pendiente pasa a −1-1, y el patrón se repite cada 2π2\pi.

Dominio y rango

  • El dominio es el conjunto de todos los números reales
  • El rango es −π2≤y≤π2-\dfrac{\pi}{2} \leq y \leq \dfrac{\pi}{2}
  • El período es 2π2\pi
  • Es una función impar

Tanto sin⁡\sin como arcsin⁡\arcsin son impares, así que su composición también lo es y la gráfica tiene simetría central respecto del origen.

Los picos

La gráfica es una poligonal que une segmentos de pendiente 11 y −1-1 alternativamente. Los vértices están en x=π2+nπx = \dfrac{\pi}{2} + n\pi, donde el valor es ±π2\pm\dfrac{\pi}{2}. Allí las pendientes por los dos lados son 11 y −1-1, así que la función no es derivable.

Continua pero no suave en esos puntos, es un animal distinto de la onda suave de sin⁡x\sin x. Los ceros están en x=nπx = n\pi.

Relación con la onda cuadrada

Calcular la derivada produce una onda cuadrada.

ddxarcsin⁡(sin⁡x)=cos⁡x1−sin⁡2x=cos⁡x∣cos⁡x∣=sgn⁡(cos⁡x)\begin{align*} \frac{d}{dx}\arcsin(\sin x) &= \frac{\cos x}{\sqrt{1-\sin^2 x}} \\ &= \frac{\cos x}{|\cos x|} = \operatorname{sgn}(\cos x) \end{align*}

Así que la derivada de una onda triangular es una onda cuadrada y, recíprocamente, integrar una onda cuadrada que alterna entre +1+1 y −1-1 produce una onda triangular. Integrar una función con saltos da una función con picos, y esa correspondencia se ve aquí.

Serie de Fourier

arcsin⁡(sin⁡x)=4π∑k=0∞(−1)k(2k+1)2sin⁡((2k+1)x)\arcsin(\sin x) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)^{2}}\sin\bigl((2k+1)x\bigr)

Solo aparecen múltiplos impares de la frecuencia, y los coeficientes decaen como 1(2k+1)2\dfrac{1}{(2k+1)^{2}}.

Forma de ondaSuavidadDecaimiento de los coeficientes
Onda cuadradatiene saltos1n\dfrac{1}{n}
Onda triangulartiene picos1n2\dfrac{1}{n^{2}}

La caída es más rápida que la de una onda cuadrada, así que bastan menos términos para una buena aproximación. Se transparenta la regla general de que integrar acelera un escalón el decaimiento de los coeficientes.

Aplicaciones

La onda triangular es una de las formas de onda básicas de un sintetizador, más suave que una onda cuadrada y más brillante que un seno, porque sus armónicos altos caen como 1n2\dfrac{1}{n^{2}}. En electrónica se compara además con una tensión constante para generar una señal modulada por ancho de pulso.

  1. Triangle wave, Wikipedia