Ortocentro de un triángulo

Las perpendiculares trazadas desde cada vértice al lado opuesto se encuentran en un único punto, llamado ortocentro. Lo hallamos para el triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(6, 3)$ y $C(2, 6)$.

Los tres lados como rectas

Levantar las perpendiculares

Dos rectas perpendiculares tienen pendientes cuyo producto es $-1$. La perpendicular desde el vértice $C$ al lado $AB$ tiene, por tanto, pendiente $-2$ frente a la pendiente $\dfrac{1}{2}$ y, al pasar por $C(2, 6)$, es $y = -2x + 10$.

La perpendicular desde $B$ sale igual. Frente a la pendiente $3$ del lado $AC$, la suya es $-\dfrac{1}{3}$ y, al pasar por $B(6, 3)$, es $y = -\dfrac{x}{3} + 5$. Resolver las dos a la vez da lo siguiente.

El ortocentro es $H(3, 4)$.

Comprobar con la tercera

El lado $BC$ tiene pendiente $-\dfrac{3}{4}$, así que la perpendicular desde $A$ es $y = \dfrac{4}{3}x$. Poner $x = 3$ da $y = 4$, de modo que también pasa por $H$. Que las tres se encuentren en un punto no es casualidad; se cumple en todo triángulo.

Dónde queda el ortocentro

Los tres ángulos de este triángulo son agudos, así que $H$ queda dentro.

La recta de Euler

El circuncentro $O$, el baricentro $G$ y el ortocentro $H$ están sobre una misma recta¹.

Se cumple además $\overrightarrow{OH} = 3\,\overrightarrow{OG}$. Esa recta se llama recta de Euler.

Las seis rectas de la gráfica son los tres lados y las tres perpendiculares, y los puntos grandes son los tres vértices junto con el ortocentro $H(3, 4)$.

1. Euler line, Wikipedia