La regla de la cadena

Una función anidada dentro de otra se deriva con la regla de la cadena¹. Lo comprobamos con $f(x) = \sin(x^2)$ .

La fórmula

Se deriva lo de fuera respecto de lo de dentro y se multiplica por la derivada de lo de dentro respecto de $x$ .

\{ g(h(x)) \}' = g'(h(x)) \cdot h'(x)

Aquí $g(t) = \sin t$ y $h(x) = x^2$ , así que $g'(t) = \cos t$ y $h'(x) = 2x$ , y la derivada es la siguiente.

f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)

El factor $\cos(x^2)$ por sí solo no basta. La derivada $2x$ de lo de dentro lo multiplica siempre.

Cómo se manifiesta el $2x$

La gráfica hace visible el efecto del $2x$ . Cuanto mayor es $x$ , más deprisa crece el interior $x^2$ , así que la onda de $\sin(x^2)$ se apiña hacia la derecha. La amplitud de la derivada crece además en proporción a $2x$ .

El espaciado de la onda puede seguirse también numéricamente. Se tiene $f = 0$ cuando $x^2 = n\pi$ , es decir, en $x = \sqrt{n\pi}$ .

$n$	Cero en $x = \sqrt{n\pi}$	Separación respecto del anterior
$1$	$\approx 1.77$	$\approx 1.77$
$2$	$\approx 2.51$	$\approx 0.73$
$3$	$\approx 3.07$	$\approx 0.56$

Se anida a cualquier profundidad

Para $\sin\left( e^{x^2} \right)$ , multiplicar de fuera hacia dentro por $\cos\left( e^{x^2} \right)$ , luego por $e^{x^2}$ y luego por $2x$ da $2xe^{x^2}\cos\left( e^{x^2} \right)$ .

Una manera de recordarla

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}

Parece que $dt$ se cancela como en una fracción, pero eso es solo la apariencia de la notación; la demostración va reescribiéndolo como producto de tasas de variación medias.

Relación con la sustitución en las integrales

La integración por sustitución es esta regla usada al revés. Sabiendo que la regla de la cadena multiplica por la derivada de lo de dentro, se lee de inmediato la integral siguiente.

\int 2x\cos(x^2)\,dx = \sin(x^2) + C

Lo que la derivación multiplica dentro, la integración ha de encontrarlo y sacarlo de nuevo.

La onda que se apiña hacia la derecha es $y = \sin(x^2)$ , la onda de amplitud creciente es la derivada, y los puntos grandes son el origen y $\left( \sqrt{\pi}, 0 \right)$ .

Chain rule, Wikipedia