y = \operatorname{arcosh} x

Coseno hiperbólico inverso $y = \operatorname{arcosh} x$

$\operatorname{arcosh} x$ , el coseno hiperbólico inverso o argumento coseno hiperbólico, es la inversa de $\cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$ ¹. Como $\cosh$ es par y toma el mismo valor en un punto y en su opuesto, tal cual no tiene inversa, así que se llama $\operatorname{arcosh}$ a la inversa de la rama con $x \geq 0$ , la rama principal.

Definición y forma cerrada

$y = \operatorname{arcosh} x$ es el valor $y$ con $x = \cosh y$ e $y \geq 0$ . Escrito con un logaritmo tiene la forma cerrada siguiente.

\operatorname{arcosh} x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)

Para que la cantidad bajo la raíz no sea negativa hace falta $x \geq 1$ , y para $x < 1$ la expresión no toma ningún valor real.

Dominio y rango

El dominio es $x \geq 1$
El rango es $y \geq 0$
Crece de forma monótona
No es ni par ni impar

El rango de $\cosh$ , que era $y \geq 1$ , ha pasado tal cual a ser el dominio de la inversa.

Monotonía

La derivada es la siguiente.

\frac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \quad (x > 1)

Es siempre positiva, así que la función crece de forma monótona en todo su dominio.

La tangente en el extremo

La gráfica arranca en el punto $(1, 0)$ . Allí el denominador de la derivada tiende a $0$ , así que la pendiente crece sin límite y la tangente es vertical. La tangente horizontal que $\cosh$ tiene en su mínimo, $x = 0$ , aparece como tangente vertical en la inversa. Un pequeño aumento de $x$ más allá de $1$ eleva $y$ de forma brusca.

Valores destacados

$x$	$\operatorname{arcosh} x$
$1$	$0$
$2$	$\ln(2 + \sqrt{3}) \approx 1.3170$
$3$	$\approx 1.7627$
$10$	$\approx 2.9932$

Para $x$ grande se tiene $\sqrt{x^2-1} \approx x$ , así que $\operatorname{arcosh} x \approx \ln(2x)$ y el crecimiento es logarítmico y lento. No hay asíntota horizontal.

Comparación con el seno hiperbólico inverso

Aspecto	$\operatorname{arsinh} x$	$\operatorname{arcosh} x$
Dominio	todos los números reales	$x \geq 1$
Rango	todos los números reales	$y \geq 0$
Forma cerrada	$\ln(x + \sqrt{x^2+1})$	$\ln(x + \sqrt{x^2-1})$
Derivada	$\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$	$\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
Tangente en el extremo	ninguna	vertical en $(1, 0)$

Un solo signo bajo la raíz es toda la diferencia y, sin embargo, decide si el dominio es la recta entera o una semirrecta.

Aplicaciones

Aparece como resultado de una integral.

\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 1}} = \operatorname{arcosh} x + C \quad (x > 1)

Se usa en la geometría de las hipérbolas y en cálculos físicos como los de electromagnetismo y conducción del calor.

Inverse hyperbolic functions, Wikipedia

Coseno hiperbólico inverso y=arcosh⁡xy = \operatorname{arcosh} xy=arcoshx