y = \Gamma(x)

La función gamma $y = \Gamma(x)$

La función gamma $\Gamma(x)$ extiende el factorial $n!$ más allá de los enteros a los números reales, y de ahí a los complejos¹. Para $x > 0$ se define por la integral siguiente.

\Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t}\,dt

Relación con el factorial

La integración por partes da la recurrencia $\Gamma(x+1) = x\,\Gamma(x)$ y, para un entero positivo $n$ , se tiene $\Gamma(n) = (n-1)!$ .

$n$	$\Gamma(n)$	$(n-1)!$
$1$	$1$	$0! = 1$
$2$	$1$	$1! = 1$
$3$	$2$	$2! = 2$
$4$	$6$	$3! = 6$
$5$	$24$	$4! = 24$

El desfase de $1$ en el índice es un convenio de la definición; $\Gamma(x+1)$ se corresponde con el factorial de forma más directa.

Dominio

La recurrencia extiende la función a $x \leq 0$ pero, en $x = 0, -1, -2, \ldots$ , el valor diverge a infinito. El dominio es, por tanto, todo número real salvo esos. Escribir $\Gamma(x) = \dfrac{\Gamma(x+1)}{x}$ deja clara la divergencia: el denominador va a $0$ cuando $x \to 0$ .

Asíntotas y límites

Hay una asíntota vertical en cada uno de $x = 0, -1, -2, \ldots$ . Cuando $x \to +\infty$ la función crece tan bruscamente como el factorial, y cuando $x \to 0^{+}$ diverge a $+\infty$ . Del lado negativo se levantan, entre enteros consecutivos, picos estrechos que llegan a $\pm\infty$ y que cambian de signo de un hueco al siguiente.

Monotonía y extremo

En $x > 0$ la función gamma es logarítmicamente convexa y alcanza un mínimo en un único punto.

Elemento	Valor
$x$ del mínimo	$\approx 1.4616$
$\Gamma(x)$ allí	$\approx 0.8856$

Ese valle queda entre los dos puntos donde $\Gamma(1) = \Gamma(2) = 1$ . A su izquierda la función decrece y a su derecha crece.

Valores especiales e identidades

En los semienteros toma valores hermosos.

\Gamma\!\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}

Está ligado a la integral gaussiana. También se cumple la fórmula de reflexión.

\Gamma(x)\,\Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin(\pi x)}

Sustituir $x = \dfrac{1}{2}$ recupera el valor anterior. Que ese $\sin(\pi x)$ del segundo miembro se anule en los enteros corresponde a que la función gamma diverja allí.

Aplicaciones e historia

Euler la introdujo en el siglo XVIII como el problema de interpolar el factorial, y el símbolo $\Gamma$ se debe a Legendre².

Distribuciones de probabilidad como la gamma y la beta
Una función especial básica del análisis complejo
La versión continua del coeficiente binomial en combinatoria

Gamma function, Wikipedia
Gamma Function, NIST Digital Library of Mathematical Functions

La función gamma y=Γ(x)y = \Gamma(x)y=Γ(x)