El área entre dos curvas

El área que encierran dos curvas se halla integrando la función de arriba menos la de abajo. Lo hacemos con $y = x^2$ e $y = 2x$ .

Las intersecciones y cuál queda arriba

De $x^2 = 2x$ resulta $x(x - 2) = 0$ , así que $x = 0$ y $x = 2$ , y las intersecciones son $(0, 0)$ y $(2, 4)$ . Esos dos puntos fijan el intervalo de integración.

¿Cuál de las dos queda arriba en $0 < x < 2$ ? Poner $x = 1$ da $x^2 = 1$ y $2x = 2$ , así que la recta está por encima. El integrando es, por tanto, $2x - x^2$ .

\int_0^2 (2x - x^2) \, dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}

Visto como una diferencia

Integral	Valor
$\int_0^2 2x \, dx$	$4$
$\int_0^2 x^2 \, dx$	$\dfrac{8}{3}$
Diferencia	$\dfrac{4}{3}$

La diferencia de las dos regiones es la parte encerrada.

También funciona por debajo del eje $x$

La resta funciona incluso cuando las curvas quedan por debajo del eje $x$ . Trasladar ambas $c$ hacia abajo deja intacta la diferencia $\left( 2x - c \right) - \left( x^2 - c \right)$ , así que el área tampoco cambia. Mientras el juicio sobre cuál queda arriba sea correcto, no hay que preocuparse por los signos.

Allí donde las dos intercambian su posición, se parte el intervalo. Se corta en cada intersección, se vuelve a elegir la función de arriba en cada trozo y se suman las áreas.

Integrar respecto de $y$

Despejar $x$ en $x^2 = y$ y en $2x = y$ da $x = \sqrt{y}$ y $x = \dfrac{y}{2}$ .

\int_0^4 \left( \sqrt{y} - \frac{y}{2} \right) dy = \frac{16}{3} - 4 = \frac{4}{3}

Apilar rectángulos horizontales estrechos da el mismo valor.

Un atajo para una parábola y una recta

Escribiendo $\alpha$ y $\beta$ para las abscisas de las intersecciones, si el coeficiente de $x^2$ es $1$ el área es $\dfrac{(\beta - \alpha)^3}{6}$ . Aquí eso es $\dfrac{(2 - 0)^3}{6} = \dfrac{4}{3}$ , en acuerdo con el cálculo anterior.

La parábola de la gráfica es $y = x^2$ , la recta es $y = 2x$ , y los puntos grandes son las intersecciones.