Gráfica de la función $y = \ln|x|$

$y = \ln|x|$ extiende el logaritmo a argumentos negativos. Mientras que $\ln x$ solo está definida para $x > 0$, tomar el valor absoluto dentro da una función definida para todo número real salvo $x = 0$. Ese pequeño cambio es lo que permite escribir la integral de $\dfrac{1}{x}$.

Dominio y rango

El dominio es $x \neq 0$ y el rango es el conjunto de todos los números reales. Cada $y$ real se alcanza exactamente dos veces, en $x = \pm e^{y}$.

Simetría

Como $f(-x) = \ln|-x| = \ln|x| = f(x)$, la función es par y la gráfica es simétrica respecto del eje $y$. La mitad derecha es exactamente $y = \ln x$ y la izquierda es su imagen especular.

Cortes con los ejes y asíntota

Como $\ln|x| = 0$ precisamente cuando $|x| = 1$, hay dos cortes con el eje $x$: $(1, 0)$ y $(-1, 0)$. Cuando $x \to 0$ por cualquiera de los dos lados el valor cae a $-\infty$, así que el eje $y$ es una asíntota vertical.

Monotonía y concavidad

La derivada es $y' = \dfrac{1}{x}$.

La regla general de que la derivada de una función par es impar se manifiesta aquí directamente. La segunda derivada $y'' = -\dfrac{1}{x^2}$ es negativa en todo el dominio, así que las dos ramas son cóncavas hacia abajo y no hay punto de inflexión.

La primitiva de $\dfrac{1}{x}$

El sentido de esta función es la fórmula siguiente.

El integrando $\dfrac{1}{x}$ está definido para $x < 0$ mientras que $\ln x$ no lo está, y por eso hace falta el valor absoluto. En efecto, para $x < 0$ se tiene $\dfrac{d}{dx}\ln(-x) = \dfrac{-1}{-x} = \dfrac{1}{x}$, así que la fórmula también es correcta del lado negativo.

Una advertencia sobre la constante

Como el dominio queda partido en dos por $x = 0$, la primitiva lleva en rigor constantes independientes en $x > 0$ y en $x < 0$. Escribir $\ln|x| + C$ con una sola constante es una abreviatura válida únicamente cuando se considera un solo intervalo. Ese mismo hecho explica por qué la integral impropia $\int_{-1}^{1}\dfrac{dx}{x}$ a través del hueco no tiene valor.

Lo despacio que crece

La función diverge cuando $|x| \to \infty$, pero tan despacio que no alcanza nunca ninguna potencia positiva $|x|^{a}$. Se tiene $\ln 10^{6} \approx 13.82$, y llegar a $y = 100$ exige $|x| = e^{100} \approx 2.7 \times 10^{43}$.

Aplicaciones

• La derivación logarítmica la usa como $\int \dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + C$, que sigue siendo válida en intervalos donde $f$ es negativa
• En el logaritmo complejo $\ln z = \ln|z| + i\arg z$, esta función es precisamente la parte real
• La solución fundamental de la ecuación de Laplace en dos dimensiones es $\ln r$, así que el potencial de una línea cargada infinita y el flujo alrededor de un vórtice bidimensional toman ambos esta forma