El vértice de una parábola y completar el cuadrado

La gráfica de una función cuadrática cambia de sentido en su punta, el vértice. Hallemos el vértice de $y = x^2 - 2x + 3$ completando el cuadrado¹.

Completar el cuadrado

La mitad del coeficiente $-2$ del término lineal es $-1$ , y aprovechamos que $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$ contiene a $x^2 - 2x$ .

\begin{align*} x^2 - 2x + 3 &= (x^2 - 2x + 1) - 1 + 3 \\ &= (x - 1)^2 + 2 \end{align*}

Como $(x - 1)^2$ es un cuadrado, vale siempre al menos $0$ , y es lo más pequeño posible cuando $x = 1$ , donde $y = 2$ . Así que el vértice es $(1, 2)$ y, como $a = 1 > 0$ , la parábola se abre hacia arriba y toma allí su valor mínimo.

El eje

La recta vertical $x = 1$ que pasa por el vértice es el eje de la parábola. Los puntos que están a la misma distancia a izquierda y a derecha del eje tienen la misma altura.

$x$	$y$
$0$	$3$
$1$	$2$
$2$	$3$

Forma canónica

La forma $(x - 1)^2 + 2$ muestra que esta gráfica es $y = x^2$ desplazada $1$ a la derecha y $2$ hacia arriba; en efecto, el vértice ha pasado del origen a $(1, 2)$ . En general, $y = a(x - p)^2 + q$ es $y = ax^2$ desplazada $p$ a la derecha y $q$ hacia arriba, con vértice $(p, q)$ y eje $x = p$ .

La fórmula general

Completar el cuadrado en $y = ax^2 + bx + c$ da lo siguiente.

y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}

Por tanto, la coordenada $x$ del vértice es siempre $-\dfrac{b}{2a}$ . Aquí vale $1$ , lo que coincide con lo hallado. La coordenada $y$ se obtiene sustituyendo.

Lo que decide el signo de $a$

Signo de $a$	Abertura	El vértice es
$a > 0$	hacia arriba	un mínimo
$a < 0$	hacia abajo	un máximo

En cualquier caso, el vértice es el punto que responde a las preguntas sobre valores máximos y mínimos. El signo de su coordenada $y$ decide además si la parábola corta al eje $x$ : aquí el vértice está por encima del eje y la parábola se abre hacia arriba, así que la gráfica no cruza el eje $x$ en ningún punto.

Los dos puntos grandes de la gráfica son el vértice de $y = x^2$ y el vértice de $y = x^2 - 2x + 3$ .

Completing the square, Wikipedia