Cuarto vértice de un paralelogramo

Hallamos el cuarto vértice $D$ del paralelogramo $ABCD$ cuyos otros vértices son $A(0, 0)$ , $B(3, 0)$ y $C(4, 2)$ ¹.

Con las diagonales

En un paralelogramo, las dos diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en su punto medio. El punto medio de $AC$ es $(2, 1)$ . Escribiendo $D(x, y)$ , el punto medio de $BD$ es $\left( \dfrac{3 + x}{2}, \dfrac{y}{2} \right)$ e igualarlos da $x = 1$ e $y = 2$ , es decir, $D(1, 2)$ .

Con los lados paralelos

La propiedad de que los lados opuestos son paralelos y de igual longitud da la respuesta directamente. Si el paso de $A$ a $B$ es $(3, 0)$ , el paso de $D$ a $C$ ha de ser el mismo.

D = C - (3, 0) = (4 - 3,\ 2 - 0) = (1, 2)

Por las diagonales o por los lados paralelos, se llega al mismo punto.

Comprobar los paralelismos

Lado	Los dos puntos por los que pasa	Pendiente
$AB$	$(0,0)$ , $(3,0)$	$0$
$DC$	$(1,2)$ , $(4,2)$	$0$
$AD$	$(0,0)$ , $(1,2)$	$2$
$BC$	$(3,0)$ , $(4,2)$	$2$

Los cuatro lados se reparten, en efecto, en dos parejas de paralelas.

Hay tres cuartos vértices posibles

Conviene señalar que tres puntos no determinan un paralelogramo de manera única. Según cuáles dos se tomen como extremos de una diagonal, el cuarto vértice puede ser cualquiera de tres puntos.

Los dos puntos tomados como diagonal	Cuarto vértice
$A$ y $C$	$(1, 2)$
$B$ y $C$	$(7, 2)$
$A$ y $B$	$(-1, -2)$

Es el convenio de nombrar los vértices en el orden $A \to B \to C \to D$ lo que fija $D$ en uno de ellos.

Área

El paralelogramo que generan la dirección $(3, 0)$ del lado $AB$ y la dirección $(1, 2)$ del lado $AD$ tiene el área siguiente.

|3 \cdot 2 - 0 \cdot 1| = 6

Que sea exactamente el doble del área $3$ del triángulo $ABC$ es lo esperable, ya que la diagonal $AC$ corta el paralelogramo en dos triángulos congruentes.

Los puntos grandes son los cuatro vértices, con $AB$ paralelo a $DC$ y $AD$ paralelo a $BC$ .

Parallelogram, Wikipedia