Puntos donde una función no es derivable

Una función puede ser continua en un punto y aun así no ser derivable en él¹. El origen de $f(x) = |x|$ es el ejemplo.

El límite no existe

La derivada en un punto se define como el límite de la tasa de variación media. En $x = 0$ el límite que hay que examinar es el siguiente.

\lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}

Aproximación	$\dfrac{\|h\|}{h}$
$h > 0$	$1$
$h < 0$	$-1$

El valor difiere según que $h$ se acerque por la derecha o por la izquierda, así que el límite no existe.

Para $x > 0$ la función $|x|$ es la recta $y = x$ y para $x < 0$ es $y = -x$ . Las dos se unen en el origen, pero sus pendientes no coinciden. Por eso la gráfica forma allí un pico.

Continuidad y derivabilidad son cosas distintas

Como $|x|$ se une sin corte en el origen, es continua pero, al quedar indeterminada la pendiente, no es derivable. El recíproco sí vale: allí donde una función es derivable, es continua.

Candidatos a máximo o mínimo

La distinción importa al buscar un máximo o un mínimo. La función $|x|$ alcanza su mínimo $0$ en $x = 0$ y, sin embargo, allí no se cumple $f' = 0$ .

Los puntos donde $f' = 0$
Los extremos del intervalo
Los puntos donde la función no es derivable

Esas tres clases son los candidatos a máximo o mínimo.

Tipos de pico

Función	Qué ocurre en el origen
$\|x\|$	pendientes $1$ y $-1$ por los dos lados
$x^{2/3}$	pendientes $-\infty$ e $\infty$ por los dos lados
$\sqrt[3]{x}$	pendiente $\infty$ por ambos lados, tangente vertical

Las dos primeras son formas apuntadas y la última tiene tangente vertical; ninguna de ellas es derivable en el origen.

Distinguirlas ampliando

Si una función es derivable puede juzgarse por si la gráfica parece una recta al ampliarla. El origen de $y = x^2$ se acerca a una recta cuanto más se amplía, mientras que el origen de $|x|$ sigue siendo una V por mucho que uno se acerque.

La forma de la derivada

Lejos del origen $|x|$ es derivable, con $f' = 1$ para $x > 0$ y $f' = -1$ para $x < 0$ . La derivada es una función con un escalón, que coincide con $\operatorname{sgn} x$ , y solo el origen queda indefinido.

Una función construida con valores absolutos o con picos se trata partiendo el dominio por los picos. Dentro de cada trozo derivar es directo, y solo los picos necesitan un tratamiento aparte.

La V de la gráfica es $y = |x|$ , las dos rectas son $y = x$ e $y = -x$ , y el punto grande es el punto no derivable $(0, 0)$ .

Differentiable function, Wikipedia